Soit

f{w,y)=zQ (C)

une équation qui détermine implicitement y en fonction de Xy et posons

si le premier membre de l'équation (c) s'évanouit pour x=x0, quel que soit t/, on ne pourra pas tirer immédiatement de cette équation la valeur correspondante y0 qui sera en apparence indéterminée. Dans ce cas, la fonction

ffo>,y + ty)-f(xo,y) s'évanouira, quelles que soient les valeurs de y et de Ay, et par conséquent la fonction ft (x6, y) s'évanouira aussi indépendamment de y. Donc l'équation dérivée de (c), qui est en général

f te») + 07/ (***) = 0,

se réduira, pour x=uv0, à

f (a?c y0) = 0, et de cette dernière équation on tirera la valeur de y0. Si elle était encore satisfaite identiquement , on recourrait à l'équation

et ainsi de suite.

Soit, par exemple,

f{x, y)=mx* — w +log (1h- wy) - 0, xo=0 : V équation dérivée sera

\ + xy T. i. 16

242 LIVRE m. — CHAPITRE Ul.

et se réduira, pour jt=0, à

— \ +yo*=0,ouyt=:4.

Prenons encore

/la?, y) = (y% — t)x* -y [log (i -f-a?)P =0, a?o = 0:

il viendra pour première équation dérivée

\%yx* — [log (i + x)Y) y' +** (y* — *)-*y î^ii^==o.

Supprimons le terme en y' qui doit s'évanouir pour x=Qf et il restera l'équation

x(i + x) (y* - t) - y log (4 + *) = 0, laquelle est encore satisfaite , indépendamment de y, par la valeur x = 0 ; mais si l'on en prend la dérivée

\2yx (I + *) - log (4 + *)] y' + (y» - 4) (4 - 8»)- .-^-=0,

et que l'on fasse dans cette seconde dérivée #= 0, les valeurs correspondantes de y seront les deux racines de l'équation