UAXIMA ET MIN1MA

traire que Ton conçoit établie entre ces variables. Cela posé, on aura pour condition commune au maximum et au mirrin mum [91]

p + qy'^0; (d)

et en outre l'inégalité

r + isy'+ty'* + qtf<Q (rft)

devra être vérifiée dans le cas du maximum, de même que l'inégalité contraire

r + fcy' + fy" + jy">0, (dt)

dans le cas du minimum. Si maintenant on établit que ces conditions sont satisfaites, indépendamment de la liaison arbitraire conçue entre y et x, on aura déterminé par là même les conditions du maximum ou du minimum de la fonction z, dans l'hypothèse de l'indépendance des variables

Pour que l'équation (d) soit satisfaite, indépendamment de toute liaison entre y et x, îl faut qu'on ait séparément

ce qui réduit les inégalités (cf1) et (dj à

r+2sy'+ty">0.

Pour que le premier membre commun à ces deux dernières inégalités conserve le même signe, quelle que soit la valeur assignée à y', îl faut que F équation

r+fcy'-Mjr-O, if)

résolue par rapport à y', ait ses racines imaginaires, ce qui entraîne la condition

et ce qui exige par conséquent que les fonctions r,t soient de même signe, après qu'on y a substitué les valeurs de *, y tirées des équations (e). Quand l'inégalité {g) sera satis-

246 LIVRE ni. — CHAPITRE III.

faite par ces valeurs, il y aura maximum ou minimum, selon que les fonctions r, t deviendront toutes deux négatives ou toutes deux positives.

M 44. La théorie des maxima et minima des fonctions de deux variables se lie très simplement à la considération des lignes de niveau [127], dont l'équation (d) est précisément l'équation différentielle. H est évident qu'au point {x, y) pour lequel la fonction z est un maximum ou un minimum, la ligne de niveau doit s'évanouir, ou plutôt se réduire à un point isolé. 11 faut donc (ainsi que nous l'expliquerons plus en détail à propos des points singuliers des courbes planes) qu'on ne puisse pas tirer de l'équation

une valeur réelle de t/', bien que les valeurs de/?, q ne soient, ni imaginaires, ni infinies, sans quoi la fonction z cesserait drêtre réelle, on éprouverait une solution de continuité du second ordre au moins. Par conséquent il faut que la valeur précédente de y' se présente sous la forme indéterminée £, et qu'ainsi l'on ait, pour le maximum comme pour le minimum, pr=0, ç=0. Dès lors, d'aprèsce que nous avons vu plus haut [1 42], la véritable valeur de y' sera donnée par Téquation

V s + ty"

qui ne diffère pas de l'équation (f); et afin qu'on ne puisse pas tirer de cette équation des valeurs réelles pour y', il faut que l'inégalité (g) soit satisfaite.

Si l'on a au contraire l'inégalité *• — rf>0,

on tirera de l'équation (f) deux valeurs réelles de y* : le point (x, y) sera le point d'intersection de deux branches