MÀX1MA ET M1NIMA

d'une ligne de niveau nmn,ri mn' (fig+ 40), qui divisera le plan xy autour du point m en quatre régions, dans deux desquelles la valeur de z ira en croissant à partir du point m. tandis qu'elle ira en décroissant dans les deux autres, à partir du même point.

145. Les conditions (e), {g) sont celles du maximum ou du minimum absolu : si Ton établit entre y et # la liaison exprimée par y=<fx, et qu'on détermine dans cette hypothèse la valeur de x qui rend la fonction z un maximum ou un minimum relatif, cette valeur sera l'abscisse du point où la ligne y=<pse est touchée par une ligne de niveau.

En général, on entend par maxima et minima relatifs ceux qui n'ont heu qu'après qu'on a établi entre les variar bles indépendantes des liaisons arbitraires qui en réduisent le nombre.

146. Régulièrement les coefficients r, $, t de l'équation (f) ne dépendront que des variables a?, y et non de y' ; mais s'il arrive que ces coefficients se présentent accidentellement sous la forme £, il pourra se faire que leurs vraies valeurs, trouvées par les procédés qu'on a indiqués au commencement de ce chapitre, varient avec y'; et alors l'équation (f) ne se trouvant plus du second degré par rapport à y', les raisonnements qui précèdent tomberont en défaut. Soit,

par exemple,

d'après le n° 1 40, les équations (c) seront satisfaites pour le système de valeurs a?=0, y=0, et l'équation (/*) deviendra

Comme cette équation a la racine réelle y — 0, le système des valeurs citées ne correspond pas à un maximum ou à un minimum de la fonction z. Dans tous les cas semblables, on n'a plus à considérer l'inégalité (y) .

248 LIVRE m. — CHAPITRE III.

147. Lorsque les valeurs de x, y qui satisfont aux équations (e), vérifient aussi les équations.

l'équation (f) n'est plus propre à donner la valeur de y\ qui se tire alors de la formule

* ~ tu + îwy' + vy,m * ou

u + Swy' + 2wy'%+vy'*=s0. (ft)

Comme cette équation est d'un degré impair par rapport à y', tant que les dérivées partielles du troisième ordre «, v, ut, w ne dépendent point de y', elle a nécessairement une racine réelle, et par conséquent les valeurs xy y qui sont racines des équations (e) et (ct), ne peuvent rendre la fonction z un maximum ou un minimum, à moins qu'on n'ait séparément

u — 0, tu — 0, w =» 0, v c= 0, (et)

c'est-à-dire à moins que tous les termes de la différentielle totale du troisième ordre

dx* ne s'évanouissent séparément, comme ceux des différentielles totales du premier et du second ordre. Il faut en outre que le polynôme du quatrième degré en y'

dxk ne donne pour y'7 quand on l'égale à zéro, que des racines imaginaires ; et cette nouvelle condition étant satisfaite , il y a maximum ou minimum , selon que le polynôme reste constamment négatif ou constamment positif pour toutes les valeurs de y'.

En poursuivant cette analyse, on arriverait à la règle générale qu'il faut , pour l'existence du maximum ou du