DES CONTACTS DES DIVERS ORDRES

Au lieu du système des équations (m), m'), (iw"), on peut

écrire

fx—i& = 0,d(fx— fx) = 0,<P (fx — ffX) = 0, ou

fx = fX, f(x + dx) = f (x + dx)9 f{x+ 2<te) = ? (x + îdx);

ce qui revient à dire, que deux courbes (/*), (<p), entre lesquelles existe au point (x, y) un contact du second ordre, ont trois points communs infiniment voisins

(xf y), {x+dx,y + dy), (x + %dx, y + îtfy + d'y).

205. En généralisant cette analyse on établira, comme conditions d'un contact du n* ordre au point (x, y) entre les courbes (/*), (9), lesn-f-1 équations

fX = jtf, /** = f'x, /"= fnWy /»*=?<•> x.

Pour des valeurs très petites du premier ordre attribuées à te, la différence (A) devient une quantité très petite de Tordre n + 1 , lorsque le contact au point (x, y) entre les courbes (/*), (<p) est de Tordre n : d'où Ton conclut à fortiori que le point [x -f- Ar, y -{- Ay) peut être pris assez voisin de [Xj y) sur la courbe (/*), pour que sa distance à la courbe (y) soit moindre que sa distance à toute autre courbe passant aussi par (#, y), et qui n'aurait en ce point avec la courbe {f) qu'un contact d'un ordre inférieur.

Les lignes (/*), (<p) se coupent ou ne se coupent pas au point (x, y), selon qu'elles ont en ce point un contact d'ordre pair ou d'ordre impair.

Dans le langage propre à la méthode infinitésimale, on peut dire que deux courbes dont le contact au point (x, y) est de l'ordre w, ont n points communs, infiniment voisins.

Étant données une courbe (f) entièrement déterminée, et une courbe (9) dans l'équation de laquelle entrent n paramètres arbitraires, on pourra disposer de ces paramètres de

manière à établir entre les deux courbes, en un point donné (#, y), un contact de Tordre n — 1 .

C'est ainsi qu'on dispose des deux paramètres a, b qm entrent dans l'équation d'une droite

y = ax + b,

de manière que la droite devienne la tangente d'une courbe donnée, en un point donné : le contact de la courbe et de la droite étant alors du premier ordre.

C'est encore ainsi qu'on dispose des trois constantes a7 b, c qui entrent dans l'équation générale d'un cercle

de manière à le rendre oscillateur d'une courbe donnée en un point donné, ou de manière à établir entre la courbe et le cercle un contact du second ordre.