DES CONTACTS DES DIVERS ORDRES

(9), ou la normale m, n, abaissée du point mi9 très voisin de m, sur la ligne (9) passant par m, est en général du même ordre de grandeur que la différence m, fx, : donc cette dislance mt jtxt est une quantité très petite du premier ordre quand la courbe (9) ne satisfait qu'à la condition de passer par le point m; et elle devient une quantité très petite du second ordre, lorsque la courbe (9) est prise parmi celles qui touchent la courbe (f) au point m.

Donc à fortiori on peut toujours prendre le point mi assez voisin de m, pour que sa distance à la ligne (9) soit moindre que sa distance à toute autre courbe passant aussi par le point m, mais qui ne toucherait pas en ce point la courbe (f). On dit alors qu'il y a entre les courbes (/*), (<p) un contact du premier ordre.

On peut toujours prendre àx assez petit pour que les signes des différences

f (x + ttx)— ?' (x+Qte;), fix + UM) — f* {x -+- 0, m) soient respectivement les mêmes que ceux des différences

fx — f'w, f'x — ?"x :

donc, en vertu de l'équation (£), la différence

changera de signe avec A#, pour des valeurs suffisamment petites de Ar, et la courbe (9) coupera la courbe (/*), lorsqu'elle aura simplement avec (f) le point commun m ; au contraire, la valeur de la même différence donnée par l'équation (<}') conservera le même signe pour des valeurs de àx suffisamment petites et de signes contraires, en sorte que la courbe (9), ayant avec {f) au point m un contact du premier ordre, cessera de couper en m la courbe (/*).

Au lieu du système des équations (m), (m') on peut

écrire

fx = ?x, f[x + dx) = t(x+ dx)\

ce qui revient à dire, dans le langage propre à la méthode infinitésimale, que deux courbes [f), (<p) entre lesquelles existe au point (x, y) un contact du premier ordre, ont deux points communs infiniment voisins (x, y), (x+dx, y -\-dy). 204. Admettons maintenant que Ton ait, outre les équations (m), (m1),

la différence (A) sera donnée par l'équation

f(x+*x)^(x+*x) = [f'(x+ttLx)-?''(xW%tixK jyj; (n

et elle deviendra une quantité très petite du troisième ordre, Ax désignant toujours une quantité très petite du premier ordre. Dans ce cas, les deux courbes (/*), (y) ont non-seulement la même tangente, mais le même cercle oscillateur ; et par analogie, on dit que ces deux courbes sont osculalrices Tune de l'autre.

La distance m, n, devient, comme la différence (A), une quantité très petite du troisième ordre lorsque les deux courbes s'osculent en m, tandis qu'elle n'était qu'une quantité très petite du second ordre, lorsqu'on n'assujettissait les deux courbes qu'à la condition de se toucher au même point.

Donc à fortiori on peut prendre le point rof assez voisin de m pour que sa distance à la ligne (y) osculatrice en m soit moindre que sa distance à toute autre courbe qui toucherait mais n' osculerait pas la courbe (f) au point m. On dit, en conséquence, que les courbes osculatrices (/*), (©) ont en m un contact du second ordre.

La différence (A), donnée par l'équation (£"), change de signe avec Ax, pour des valeurs absolues de Ax suffisamment petites : donc la courbe osculatrice (<p) coupe en général la courbe (f) au point m, en même temps qu'elle la touche.