L'équation (c) deviendra illusoire, si Ton a à la

fois

On prendra alors la dérivée de cette équation, qui se réduit à

<to'^ da?dyy dxdy*y * dy' y U

Quand celle-ci acquerra, pour les valeurs de x, y qui satis-

font aux équations (a), (b)r (tf), trois racines réelles et inégales, la courbe proposée aura un point d'intersection triple; tandis que le point n'appartiendra qu'à une seule branche de la courbe, comme ceux qui le précèdent et qui le suivent immédiatement,, si l'équation (e) n'a qu'une seule racine réelle.

Ce dernier cas se présente pour, là courbe dont l'équation est

y«— x(x—*y=zQ: (6)

on y satisfait en prenant x = 1 , y = 0 : valeurs qui vérifient aussi les équations [b) et (d) ; mais l'équation (e) se réduit pour les mêmes valeurs à

et elle n'admet qu'une racine réelle. Il est d'ailleurs manifeste, par la forme de l'équation (6), que y ne peut avoir qu'une seule valeur réelle pour toutes les valeurs de s, et qu'ainsi la courbe ne saurait offrir de points multiples.

Dans le cas où tous les coefficients de l'équation (e) s'évanouiraient encore, on passerait de la même manière à une équation du quatrième degré en y'. Si celle-ci avait quatre racines réelles et inégales , le point correspondant aux valeurs de a;, y qui vérifient les équations (a) et (6), serait un point d'intersection quadruple ; si elle n'avait que deux racines réelles et inégales, le point serait double ; si elle avait deux racines réelles inégales et deux racines réelles égales, l'existence de deux racines inégales accuserait encore l'existence de deux branches qui se coupent au point correspondant (x, y) : nous verrons tout à l'heure les conséquences que l'on peut tirer de la présence des deux racines réelles égales.

Il est clair que rien n'empêche de poursuivre cette discussion indéfiniment, et qu'il en résulte une méthode dirette

pour déterminer sans ambiguïté, sur toutes les courbes algébriques, les points multiples par simple intersection (ou par intersection non accompagnée de contact), et leur degré de multiplicité ou le nombre des branches qui se coupent en ces points singuliers.

216. Lorsque l'équation en y, à laquelle on arrive en appliquant la méthode précédente, est de degré pair, et qu'elle a toutes ses racines imaginaires, le point dont les coordonnées satisfont par hypothèse aux équations (a) et (6), est un point conjugué, c'est-à-dire un point isolé et néanmoins associé à la courbe que l'équation (a) représente, en ce sens que le lieu de l'équation est donné par le système d'une ligne continue et d'un point isolé. Une ligne peut avoir plusieurs points conjugués, ou même en avoir une infinité, si son équation est transcendante*. Une équation à deux variables peut aussi ne représenter qu'un point ou un système de points isolés ; mais ceci n'arrive que parce qu'elle équivaut à plusieurs équations distinctes. Telles sont les équations de la forme

[?toyT+[M*,y)]\=o, qui équivalent au système des deux équations r(*-y)=o, *(*,y)=o.

L'origine des coordonnées est un point conjugué de la courbe représentée par l'équation (3), quand on attribue au paramètre a une valeur négative. Les équations (b) et (c) deviennent dans ce cas

8y=0,2ar+ 3bx* = 0,/1 — Mx — a= 0; les deux premières sont vérifiées par les valeurs x = 0, y = 0 ; et quand on fait dans la troisième x = 0, a < 0, on n'en peut tirer pour y1 que des valeurs imaginaires. D'ailleurs, lorsqu'on met l'équation (3) sous la forme j'= + x]/bx + a,

on voit clairement : i° qu'elle est vérifiée par x = 0, y=0; 2° que si Ton suppose a négatif et b positif, l'ordonnée y reste imaginaire pour des valeurs de x positives ou négatives, tant soit peu différentes de zéro, et ne devient réelle

que quand x surpasse — y.

On peut remarquer que le point conjugué 0 [fig . 59) conserve en quelque sorte la trace du nœud Omn (fig. 57) qui a disparu par le changement de signe du paramètre a; et Ton se rend ainsi compte, autant que le sujet le comporte, de la signification géométrique des points conjugués.

Il est aisé de voir pourquoi l'on obtient les points conjugués en même temps que les points multiples. En effet, un point conjugué est celui où deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (a)

y = ?x + fr y/=\9 (*,)

deviennent égales entre elles, et en même temps réelles, par l'évanouissement de la fonction^. On peut donc considérer le point conjugué comme le point d'intersection de deux branches imaginaires de la courbe (a). Pour chacune de ces branches, l'équation (a') donnerait à y1 une valeur imaginaire unique : il doit y avoir deux valeurs imaginaires de y' pour le système de valeurs de or, y commun aux deux branches imaginaires, ou pour les coordonnées réelles du point conjugué ; donc il faut que l'équation (a') ne puisse plus servir à déterminer une valeur unique de y', et partant que les équations (b) soient satisfaites pour les valeurs de x, y qui correspondent au point conjugué.

Dans le sens algébrique, la courbe (6) a un point conjugué, correspondant aux coordonnées x = l, y = 0, et aux racines imaginaires de l'équation (7) ; mais ce point conju-

gué se trouve accidentellement coïncider avec un des points de la branche réelle de la courbe. Quelques auteurs expriment cette circonstance en disant que le point conjugué n'est plus visible, ce qui signifie qu'il n'a plus d'existence géométrique .

21 7. On conçoit que la valeur de # qui correspond à un point conjugué de la courbe (a), peut aussi correspondre accidentellement à un point conjugué de la courbe dérivée qui a pour abscisse x et pour ordonnée courante t/', ou même à un point conjugué de la courbe dérivée du second ordre, dont l'ordonnée courante est y", et ainsi de suite. Par exemple, l'origine est manifestement un point conjugué de la courbe

y* = ax* H- &F5, ou y = ± x* \/bx -h a,

quand on suppose, comme ci-dessus, b > 0, a < 0 : ce sera aussi un point conjugué de la courbe dérivée

x($bx + ba) * ~ ±2 Vbx + a1

et en effet, l'équation (c) se réduisant dans ce cas à y '* = 0, n'a pas ses racines imaginaires, mais réelles et égales.

Généralement, lorsque les coordonnées #, y d'un point conjugué ne correspondent pas à des racines imaginaires de l'équation finale en y', à laquelle conduit la méthode exposée plus haut, elles correspondent à des racines réelles de la même équation, doubles ou d'un degré pair de multiplicité. Pour le démontrer, remarquons que quand deux branches de la courbe, au lieu de se couper, se touchent au point (x, t/), les valeurs correspondantes de y', qui étaient inégales dans le cas d'intersection des branches, doivent devenir égales, sans cesser d'être réelles ; et les deux branches acquérant une tangente commune, on peut dire aussi qu'elles ont deux points communs infiniment voisins. Par la même

raison, lorsqu'il correspond une valeur réelle de la tangente aux coordonnées du point conjugué, on peut dire que les branches imaginaires (at), (*,) ont deux points réels communs, infiniment voisins, ou que ces branches se touchent, et par conséquent l'équation en y' doit acquérir des racines égales. Cela se voit d'ailleurs par la forme même des équations (at), (af) ; puisque, si la valeur dey1 tirée de («,) est réelle pour l'abscisse x du point conjugué, c'est que la va* leur x annule, non-seulement la fonction $x, mais aussi sa dérivée ty'x; et alors la valeur de y' tirée de fa) est la même que celle que l'on tire de (at). La fonction y' acquiert donc au point conjugué deux valeurs égales : elle pourrait en acquérir 4, ou 6, ou nu nombre pair quelconque, selon le nombre des branches imaginaires conjuguées deux à deux, qui auraient pour point commun de contact le point conjugué.

218. Nous dirons qu'il y a entre deux branches de courbe un contact de première espèce, lorsque les deux branches sont situées de part et d'autre de la tangente commune (fig. 61), et un contact de seconde espèce, lorsque les deux branches sont situées d'un même côté de la tangente (fi g . 62). Si les deux branches se raccordent au point de contact, sans se prolonger au delà, le point multiple par contact se change en un point de rebroussement, de première ou de seconde espèce {fig. 63 et 64), selon que la tangente commune tombe entre les deux branches qui se raccordent, ou les laisse toutes deux d'un même côté. La cycloïde et les développées des sections coniques nous ont déjà offert des exemples de rebroussements de première espèce. La courbe

(y — ax*)* = b* x1, ouy=zax*± bx* {/xf

éprouve à l'origine un rebroussement de seconde espèce : car l'équation de cette courbe donne

/ = iax ± | bx v/x, y" = 2a + — * \/x\

et quand on fait x = 0, d'où y = 0, y ' = 0, les deux valeurs de y* deviennent égales à la constante la : par conséquent les valeurs de y sont de même signe pour les deux branches qui se raccordent, et ces deux branches tournent leur concavité dans le même sens {fig. 65).

Imaginons qu'une droite se meuve dans le plan d'une courbe plane, en s'appuyant sur cette courbe ou en la touchant constamment : le point de contact peut être considéré comme un point en mouvement sur la droite mobile. Le sens de la vitesse de ce point change, ou le point rebrousse sur la droite mobile, quand cette droite touche la courbe en un point de rebroussement de première ou de seconde espèce : en outre, le sens de la rotation de la droite mobile sur le plan change, comme aux points d'inflexion, si le rebroussement est de seconde espèce.

219. En résumé, lorsque l'équation en y' dont il a été question jusqu'ici, a des racines réelles égales, ces racines peuvent correspondre ou à des points multiples par contact, ou à des points de rebroussement, ou bien enfin à des points conjugués. Le même caractère analytique doit appartenir à ces trois sortes de points singuliers : en effet, on peut toujours représenter par (aj, («,) deux branches de la courbe (a), branches qui sont réelles ou imaginaires, selon que la fonction tyx est imaginaire ou réelle. On désigne par yx une fonction réelle, et dans le cas actuel on admet que la valeur qui annule tyx annule aussi ty'x. Soit £ cette valeur : si, pour des valeurs de x tant soit peu plus grandes ou plus petites que £, tyx reste imaginaire, il y a un contact ordinaire, de première ou de seconde espèce, entre les deux branches. Si tyx est imaginaire pour des valeurs de a tant soit peu plus petites que £ et réelle pour des valeurs de x tant soit peu

plus grandes, ou vice versa, le point singulier est un point de rebroussement de première ou de seconde espèce ; et enfin si la valeur de tyœ reste réelle pour les valeurs de x immédiatement supérieures et inférieures à \> les deux branches sont imaginaires et le point singulier devient un point conjugué. Rien n'est plus facile que de distinguer ces trois cas, lorsque la fonction <|œ est donnée explicitement par la résolution algébrique de l'équation proposée : autrement il faut recourir à des essais, ou construire la courbe par points dans le voisinage du point singulier dont on veut reconnaître la nature. L'analyse dont nous avons fait usage réduit, autant que le sujet le comporte, les cas d'ambiguïté, et met en évidence la raison de cette ambiguïté, dans les circonstances où die est inhérente à la question.

220. Les points de contact ou de rebroussement de première espèce se distinguent encore de ceux de seconde espèce par un caractère remarquable ; car, soient £, V les valeurs de x et de y ' qui correspondent au point de contact ou de rebroussement de première espèce : pour les valeurs de x voisines de £, y' a deux valeurs, l'une un peu plus grande, l'autre un peu plus petite que W; et de là il est aisé de conclure que la courbe dérivée dont les coordonnées courantes sont x, y', a au point (S, m') sa tangente perpendiculaire aux x, à moins que le point (£,•*/) ne soit lui-même accidentellement un point de contact ou de rebroussement de première espèce, et que la tangente en ce point ($, n') ne se trouve parallèle aux x. Donc la dérivée y" est infinie ou nulle, et ordinairement infinie pour les valeurs de x qui correspondent à des points de contact ou de rebroussement de première espèce. fl y a sous ce rapport réciprocité entre les points dont il s'agit et les points d'inflexion, pour lesquels la dérivée y" est ordinairement nulle et peut être exceptionnellement infinie.

Le point qui correspond sur la courbe dérivée à un point de rebroussement de seconde espèce , peut être lui-même un point de rebroussement de première ou de seconde espèce; et il n'y a plus moyen d'assigner d'une manière générale un ordre n de dérivation tel que la dérivée yw doive être nécessairement infinie ou nulle.

221 . Nous terminerons ce chapitre en indiquant les connexions qui existent entre les points singuliers d'une courbe plane et ceux de sa développée. La formule

montre que p devient infini, ou que la courbure est nulle quand y" s'évanouit, ce qui arrive en général aux points d'inflexion de la développante* Ainsi les normales à la développante aux points d'inflexion sont en général des asymptotes de la développée (fig. 66). Au contraire, les points d'inflexion de la développée correspondent à des points de rebroussement de seconde espèce sur la développante (fig. 67).

Les points singuliers de la développante où le rayon de courbure passe par une valeur maximum ou minimum, correspondent en général à des rehaussements de première espèce sur la développée {fig. 52 et 53). U pourra arriver exceptionnellement que ces points de la développante soient des points pour lesquels y" s'évanouit sans qu'il y ait inflexion ; et alors les normales en ces points seront des asymptotes de la développée.

Aux points où la développante éprouve des rebroussements de première espèce, y" devient ordinairement infini, p est nul, et la développée rencontre à angles droits la développante (fig. 54 et 69). Mais il peut aussi arriver accidentellement que y" s'évanouisse, que p devienne infini, ou que la

perpendiculaire à la tangente commune au point de rebroussèment de la développante soit une asymptote de la développée.

Si la développante n'est pas une courbe algébrique, à ses points d'arrêt ou de rupture correspondront des points d'arrêt ou de rupture de la développée ; les points saillants de la première courbe entraîneront l'existence de points de rupture pour la seconde. La développée offrira encore une rupture, ou ses coordonnées courantes, considérées comme fonctions de l'abscisse a? de la développante, éprouveront une solution de continuité du premier ordre [36], lorsque la fonction y, qui entre dans l'expression des valeurs de ces coordonnées, éprouvera une solution de continuité du même ordre, ou lorsque l'ordonnée y de la développante subira une solution de continuité du troisième ordre ; de sorte qu'en définitive, il y aura autant de ruptures dans la développée que de solutions de continuité du premier, du second et du troisième ordre dans la fonction y qui représente l'ordonnée de la développante. En conséquence, la solution de continuité du troisième ordre de la fonction quelconque y est représentée géométriquement par une solution de continuité du premier ordre dans la fonction qui mesure la courbure de la ligne dont y est l'ordonnée, ou par une rupture de la développée de cette ligne. Comme on peut tracer la développée de la développée, et ainsi à l'infini, il s'ensuit que la solution de continuité d'un ordre quelconque peut être définie géométriquement, ou qu'elle est susceptible de se manifester par un caractère sensible et géométrique.

La développante de toute courbe fermée et non sinueuse, telle que le cercle ou l'ellipse, est une courbe du genre des spirales, formée d'un double système de spires (fig. 68). En effet, rien n'arrête, dans un sens ni dans l'autre, le mouvement révolutif de la tangente à la développée, en vertu du-

quel chaque point de la tangente mobile vient à son tour s'appliquer sur la développée. Soit m le point de la développée où vient s'appliquer, dans ce mouvement de rotation continu, le point de la tangente mobile qui décrit la développante que Ton considère : il est évident que les deux systèmes de spires, inversement disposés, dont se compose la développante, viendront se raccorder en m en formant un rehaussement de première espèce.

La développante d'une courbe à asymptote et sans inflexion, telle que la logarithmique ou une branche d'hyperbole, offrira un point de rebroussement de première espèce et un point de rupture. Soit MN {fig . 69) la développée, AS son asymptote, m le point de la développée où vient s'appliquer le point de la tangente mobile qui décrit la développante fxmv : évidemment, cette dernière courbe subira en m un rebroussement de première espèce. En outre, pendant que la tangente mobile se déplace en roulant sur la développée dans le sens m M, elle tend indéfiniment vers la position S À, sans jamais l'atteindre : donc il y a un point p situé sur AS, dont le point décrivant s'approche d'un mouvement de plus en plus ralenti, sans jamais l'atteindre, et qui par suite est un véritable point d'arrêt de la développante.

Ainsi, les points d'arrêt peuvent appartenir à des courbes dont le tracé est déterminé d'après des conditions géométriques : en sorte que l'existence de ces points singuliers n'est pas seulement la conséquence des singularités que peut oflrii* la marche d'une fonction dont l'origine serait purement analytique [209].