PRINCIPES DE LA THÉORIE DES LIGNES A DOUBLE COURBURE
222. Une ligne est déterminée dans l'espace au moyen de deux équations entre les coordonnées x, y, z qui expriment les distances d'un point pris sur la ligne à trois plans fixes, perpendiculaires entre eux ; et réciproquement, le système de deux semblables équations peut être représenté par une ligne tracée dans l'espace, dont x, y, z désigneraient les coordonnées rectangulaires. La ligne .est encore représentée graphiquement par les deux courbes planes qui sont ses projections sur deux des plans coordonnés, tels que ceux des x y et des x z. Les équations des lignes de projection sont celles qu'on obtiendrait en éliminant alternativement z et y entre les équations
au moyen desquelles la ligne est déterminée dans l'espace.
On peut considérer cette ligne comme l'intersection de deux surfaces cylindriques qui auraient respectivement pour hases les lignes de projection sur les plans des x y et des x z, et dont les droites génératrices seraient respectivement parallèles aux axes des z et des y.
En général, les lignes ainsi déterminées dans l'espace ne sont pas planes, c'est-à-dire que% non-seulement elles n'ont pas tous leurs points compris dans le môme plan, mais qu'un arc de la courbe, si petit qu'on le suppose, ne peut pas être appliqué sur un plan. On les nomme alors lignes à double courbure : cette dénomination sera expliquée et justifiée par ce qui doit suivre.
En vertu des deux équations de la courbe, une seule des t. i. 24
trois variables #, t/, z peut être considérée comme indépendante : les deux autres, ainsi que leurs dérivées de tous les ordres, en sont des fonctions explicites ou implicites. Mais, pour l'avantage de la symétrie des formules, avantage d'autant plus précieux que les formules sont plus compliquées, il sera bon de traiter x, y, z comme trois fonctions d'une même variable indépendante t. Afin de fixer les idées, on peut imaginer que t désigne le temps, et que la courbe est tracée par un point mobile dont le mouvement est défini par trois équations entre x, y, z, t. Si Ton forme deux combinaisons de ces équations prises deux à deux, et que Ton élimine t entre les deux équations de chaque groupe, on aura les deux équations de la courbe.
223. Concevons que Ton ait mené la corde qui joint deux points (x, y, z), (x + Ax, y + At/f z -{- Az), l'un et l'autre pris sur la courbe : en vertu de principes connus, cette corde a pour longueur
l/àx* +ày* + A*1;
et les équations de ses projections sur les plans des x y et des x z sont
£, y), t désignant les coordonnées courantes. Enfin elle forme avec des parallèles aux axes des x, des y et des z, menées par le point (x, y, z) dans le sens des coordonnées positives, des angles qui ont respectivement pour cosinus
V&&+ tf + bz*' V to? + ày* + *z*' Vàrf + byt + ïz*'
Quand le second point se rapproche indéfiniment du premier, la corde approche indéfiniment d'une position déterminée, qui est celle de la tangente à la courbe dans l'espace : en même temps les projections du second point sur chaque
plan coordonné se rapprochent indéfiniment des projections du premier point, et la projection de la corde tend à prendre une position déterminée, qui est celle de la tangente à la ligne de projection. Donc les tangentes aux lignes de projection sont les projections de la droite qui touche dans l'espace la ligne projetée ; et cette droite tangente est déterminée par le système des deux équations
dy % dz ,
lesquelles entraînent la suivante
Il- est plus symétrique et par conséquent plus élégant de comprendre ces trois équations, dans la formule
dx dV ds m
laquelle se résoudra à volonté en deux équations distinctes, d'autant de manières que Ton peut former de combinaisons deux à deux entre trois lettres. Les formules de cette espèce se présentent souvent dans les applications de l'analyse à la géométrie aux trois dimensions.
Si l'on désigne par a, /3, y les angles que la tangente à la courbe forme avac les parallèles aux axes des x, y, z> dans le sens des coordonnées positives, on a aussi
±dx /i ±dy ±dz
ou bien, à cause de cos* a -f- cos* /5 -f- cos* 7 = 1,
— =-^- = — = -4- l/ite1 + dyl + dz\
COS a COS j3 COS y ~~
On entend par la longueur de Tare d'une ligne à double
courbure, la limite dont s'approche indéfiniment lalongueur d'une portion de polygone gauche, inscrite à Tare et terminée à ses deux extrémités, quand le nombre des côtés augmente sans cesse et que chaque côté décroît indéfiniment. D'après cette définition, si s désigne la longueur de Tare d'une ligne à double courbure, mesurée à partir d'un point pris arbitrairement sur la ligne, on a
ds = + \/dx* + dy* + dz*, [a)
selon que l'arc croit ou décroit, et que la différentielle ds est positive ou négative. Ainsi l'on peut écrire
dx dy d%
COS a =: + —, COS8 = ± -p, COSy = ±— . ~~ ds ds ds
Nous regardons l'équation (a) comme la définition analytique de la grandeur s, conformément à la remarque déjà faite [174]. On y parviendrait aussi, en imaginant que la portion de surface cylindrique qui contient l'arc s et sa projection u sur le plan x yy s'étale sur le plan mené par la tangente à l'une des extrémités de l'arc s et par la tangente à l'extrémité correspondante de l'arc u. Dans cette opération l'arc 5 devient, sans changer de longueur, un arc de courbe plane ; Tare u devient, aussi sans changer de longueur, une portion de ligne droite ; et l'on a, d'après ce qui a été établi pour les courbes planes,
du* = dx% + dy*, ds* = diï + d%*,
ds* « dx* ■+■ dy* + dz*.
244. On entend par plan tangent à une ligne dans l'espace, tout plan qui contient la tangente à cette ligne : ainsi, la ligne a en chaque point une infinité de plans tangents.
Il y a aussi, en chaque point, une infinité de normales à la courbe ou de droites perpendiculaires à la tangente ; le plan qui les comprend toutes est le plan normal à la courbe
eu ce même point. Si l'on désigne par l, v, K les coordonnées courantes du plan normal au point (<r, y, z), son équation est, selon les principes de la géométrie analytique, et en vertu des équations (2),
(Ç — x)dx + (ri— y)dy + (ç — z)dz=* 0. (b)
La différentiation des équations (1) donne df df df di dt dt
dx ^dyy^dz 'dx dy^^dz *
d'où Ton tire, au moyen des équations (2) et (3), dt dt dt
-/ COS a + -/ COS (3 + -p COS y = 0,
dx dy dz
dt dt di
-cos«+ - cas 13+ -cos7 = 0.
Soit, pour abréger,
dy* dz dz' dy~ y
dz' dx dx' dz dfdt df ^ = N.
dx' dy dy' dx
les équations (5) donneront
COS a COSjp COS 7 i
"ï ir — ir- -vl'+m'+n*'
Les équations de la tangente seront aussi, en vertu des équations (4),
et celle du plan normal deviendra '
225. Concevons qu'à partir du point (*, y, z) indiqué par la lettre m (fig. 70), on prenne sur la courbe une suite de points mi9 ntlf m„ , très rapprochés les uns des autres, et qu'on les joigne par des cordes, de manière à former un polygone gauche, dont le périmètre approche d'autant plus de se confondre avec la courbe, que les sommets sont plus rapprochés. Deux côtés consécutifs mmi9 mi m, déterminent un plan qui se déplace un peu dans l'espace, en continuant de passer par le point m, quand les points mft, mt se rapprochent de plus en plus de m, et qui se déplace d'autant moins (sauf les cas de solution de continuité) que les points m, m0mt sont déjà plus rapprochés. Ce plan tend en général vers une position déterminée que le calcul assignera, quand on établira l'équation du plan en traitant les distances mmi,ml mt comme des quantités infiniment petites. On dit alors que le plan a été assujetti à passer par trois points infiniment voisins ; et à moins que la courbe n'éprouve au point m une solution de continuité du second ou du troisième ordre, il est indifférent de prendre les points mft, m, tous deux en deçà ou tous deux au delà, ou l'un en deçà et l'autre au delà du point m.
Nous entendons par solutions de continuité de la courbe les solutions de continuité des coordonnées a?, y, z, considérées comme fonctions d'une variable indépendante t, quand d'ailleurs ces solutions de continuité ne dépendent point de la direction arbitraire des axes coordonnés.
Le plan qui passe par deux points infiniment voisins tu, m, , passe par la tangente, ou se trouve compris parmi les plans tangents à la courbe au point m. Le plan qui passe par trois points infiniment voisins m, rop mt, s'appelle le
plan oscillateur de la courbe au point m, par analogie avec le cercle oscillateur d'une courbe plane, que Ton peut considérer comme déterminé par la condition d'avoir avec la courbe trois points communs, infiniment voisins [204].
Soit A un plan quelconque mené par le point m, et mt un point de la courbe, distant de m d'une quantité très petite du premier ordre [45] : la distance de m, au plan A est en général une quantité de même ordre que la corde mml9 ou une quantité très petite du premier ordre. Soit B un plan tangent à la courbe mmi : la distance de m, au plan B est une quantité très petite du second ordre. Enfin désignons par C le plan oscillateur en m : la distance de m1 au plan C devient une quantité très petite du troisième ordre. Donc à fortiori on peut toujours prendre le point mt assez voisin de m pour qu'il se trouve plus rapproché d'un plan tangent quelconque que d'un autre plan quelconque, et plus rapproché du plan oscillateur que de tout autre plan tangent. Pour abréger, nous omettons la démonstration rigoureuse de ces diverses propositions, qui résulterait de calculs analogues à ceux des n" 303 et suivants, et qui ne nous sera pas nécessaire dans ce qui doit suivre.
226. Si l'on désigne par S, yï, K les coordonnées courantes du plan oscillateur au point (#, y, s), son équation sera de la forme
X, Y, Z désignant des coefficients inconnus qu'il s'agit de déterminer. Cette équation doit subsister quand on y remplace a?, y, z par x + dx, y + dyy z + dz, et ainsi l'on a
enfin ces deux équations doivent encore subsister quand on y remplace à la fois
par
X + dx,y + dyy % + dz; dx + dfo?f rfy + d*y, dz"+ d'z,
ce qui donne
Xd^ + Y^y+Zd^^O. (O
Lorsque Ton combine ces trois équations de manière à éliminer deux des trois inconnues X, Y, Z, la troisième s'en va en même temps, et il reste pour l'équation du plan oscillateur
(dyd*z - dzd%y) (ç — x) + (dzd*x — dxd*z) (* — y) + (dxd*y — dyd*x) (ç — z) - 0;
mais, afin d'abréger récriture, on peut conserver l'équation du plan oscillateur sous la forme (c), en posant les équations auxiliaires
X = dyffz — dzéPy, Y = dzffx — âxd*z, Z = dxffy — dycFx. fr)
227. Nous avons trouvé pour l'équation du plan normal au point (x, y, z),
(€ - x) dx + („ -y) dy -h ({ — z) dz = 0 . (b)
Si l'on veut avoir l'équation du plan normal mené par un point infiniment voisin, il faut ajouter au premier membre de l'équation précédente sa différentielle par rapport à toutes les variables. Pour les points situés sur la droite d'intersection des deux plans normaux infiniment voisins, on a donc, outre l'équation précédente, celle qui s'en déduit par la différentiation, savoir
(Ç — x) d*x + (* — y) (Py -f- (ç — z) éPz — (da? + df+ dz9) = 0,
ou
(f— x) <Px + („ - y) (Py + (ç - z) #z — d* = 0. (*')
Cette ligne d'intersection des deux plans normaux pénètre le plan osculateur en un point ($, yî, £), dont les coordonnées doivent satisfaire aux trois équations (6), (6'), (c). Ce point est le centre d'un cercle qui passe par trois points de
la courbe infiniment voisins, ou le centre du cercle oscillateur. En effet, puisque dans la détermination géométrique du cercle oscillateur d'une courbe plane n'entrent que deux éléments consécutifs et infiniment petits de la courbe, et que deux éléments consécutifs d'une courbe quelconque sont compris dans un même plan, ou plutôt déterminent ce plan, qui est le plan oscillateur, la construction du cercle oscillateur s'adapte aux courbes quelconques, comme aux courbes planes. Si l'on pose
,•= (6 -*)•+(,;- y)1 + (ç-sjl, le rayon p du cercle osculateur fera avec les parallèles aux axes des x, y, z, des angles A, p, v, données par les équations
+ pCOSl = Ç — ff>±P COSfi = u — y,±/>COBvz=Ç — s.
La courbure de la ligne, dans son plan osculateur, a pour mesure - ; et l'angle de contingence dr [193] est lié à p par l'équation
P as 258. Les équations (6), (6'), (c) donnent immédiatement par l'élimination des binômes £ — x, n — y,
ds'ÇLiy — Ydx)
Ç ~~ * ~ X (dy<Pz—d*<ry) + Y {dzd'x—dxd'x) -\ Z (dxd*y- dyd*x) d$*ÇHdy — Ydx) ~~ X»-t-Y* + Z» ;
et Ton en déduit par le simple échange des lettres,
d»*(Us— \d%) X» + Y» + Z* '
dïÇldz— Zdy)
dt?(JÀx — \dz)
X1 + Yf + Z
puis il vient
. (fet^lX1* Y1 + V) d*— ÇLdx + Yrfy-r Zdij* p~ X^Y' + Z1
ou bien, en vertu de l'équation (c'),
p=3=±Vi*i-Y* + Z*' {?)
Par un calcul analogue à celui du n° 196, on trouve X» + Y1 + V = A» (dV + dV + «P*1 — dV ),
%+r*r=*.J(^)-+(tg)-+((..g),|.
ce qui permet de donner à l'expression du rayon de courbure les deux formes
ds%
On trouverait encore directement
\dy — Xdx =<rz(dx* + dp) — dz (dxd%x + dycPy) =s A (A» — cte') — dz (dstfs — tfs*x)
= <Pzd* — did*(Pi = <b\f . -p ,
as
et par suite
dx dy dz
a.— tf.— d.-r-
Donc
dx dy dz
. . ds . * *
cosXr=db|5 — --,coSf* = ± p — T-,cosv = dbp — -. as ds r a*
Enfin la formule (d) donne pour la valeur de l'angle de contingence cfr,
229. Admettons, ce qui est toujours permis, que le plan oscillateur devienne parallèle à celui des xy ; on aura dz = 0, d*z = 0, d'où X = 0, Y = 0,
(daF + df)j P *— dxd}y — dy<Px;
mais ceci est l'expression du rayon de courbure de la projection de la courbe sur le plan x y [196] ; et Ton trouverait aussi pour £ — x, *) — y des valeurs qui s'accordent avec celles des coordonnées du centre de courbure d'une courbe plane ; d'où il faut conclure que le rayon de courbure d une ligne quelconque tracée dans l'espace, se confond en grandeur et en direction avec le rayon de courbure de la projection de cette courbe sur le plan oscillateur.
230. Désignons par A', pK, v' les angles que fait la normale au plan oscillateur avec des parallèles aux axes des x, des y et des z : nous aurons
Désignons aussi par dO l'angle infiniment petit que forment entre elles les normales aux deux plans oscillateurs infiniment voisins, dont l'un se rapporte au point (a, y, z) et l'autre au point (x + dx, y + dy, z -f- dz) : on aura, d'après ce qui vient d'être démontré,
dôf= (rf.cos >')*+ (d.coB f/)1 •+■ (d.cos v')f
V'^f^rzO + VViWtZV VVXM-YH-ZV (Xf+Y1+Z*) ((W+W+dW-frdlL+YdY+ZdZ)* — (X*+Yf+ZV
(XtfY-YtfX)' + (ZrfX-XrfZ)» + (YrfZ-ZdY)' ~ (XM-Y^ZV
On trouve d'ailleurs dZ=dyd*z—dzd*y, dXz=dzd*x—dxd*z, dZ£=dxd*y-dyd% XrfY — YdX ZrfX— XrfZ YrfZ— ZrfY
dz dy dx
^dz{<Pxd*y—<Pydtx)+dy Wzd*x—d*xd*z)+dx[d'yd*z—<Pzd'y),
et par suite
d$dz{d*xd*y—d'yd*aHdyldhd*x-^xd*z)+dx(d*yd*z--d*zdty) ds (dy(Pz—dzdPy)% + (dzd*x — dxd*z)*+{dxiPy— dy&x?
Or, de même que l'expression
dx\ a* /»
où. rft désigne F angle de contingence formé par deux tangentes infiniment voisines, mesure la courbure de la ligne dans son plan oscillateur, ou sa première courbure, de même
l'expression
do
ds9
dans laquelle dO désigne l'angle de flexion formé par deux plans oscillateurs consécutifs, mesurera la seconde courbure de la ligne; ce qui justifie la dénomination de lignes à double courbure, donnée aux lignes qui ne sont pas
Pour concevoir la rectification d'une ligne à double courbure, on peut imaginer que le premier plan oscillateur se rabat sur le second, que ces deux-ci se rabattent sur le troisième, et ainsi de suite, de manière à transformer la ligne en courbe plane ; puis, que la première tangente se rabat sur la seconde, ces deux-ci sur la troisième, et ainsi de suite, de manière à transformer la courbe plane en ligne droite ; sans que la longueur des éléments de la courbe primitive ait été altérée dans cette double opération.
Donc, par une opération en sens inverse ou par deux
flexions consécutives, on passerait de la ligne droite à une courbe tracée dans l'espace d'une manière quelconque.
On voit que l'expression de la seconde courbure dépend des différentielles du troisième ordre des coordonnées x, y, z ; tandis que celle de la première courbure dépend seulement des différentielles du premier et du second ordre.
231 . La seconde flexion s'évanouit et change de signe en général, quand on a
dz(<Pxd*y — (Pyd*x) + dy <d*zd*w — d*xd*%)
-t- dx (d*yd*z — ePzd'y) = 0 : (e)
on dit alors que la ligne éprouve une inflexion simple. Si cette équation de condition se trouve satisfaite pour toutes les valeurs de x, y, z, la courbe est plane. '
Quand on prend la coordonnée x pour variable indépendante, l'équation (e) se ramène à la forme très simple
ynx'" — *"y'" = 0.
D'après les équations (d) et (pt), la première flexion s'évanouit lorsqu'on a à la fois
d*w d*v d*z X=»,Y=0>X = 0,ou^ = J = 5ï. m
Ces équations de condition se réduisent à y" = 0, z*= 0, si Ton prend x pour variable indépendante. Il est évident d'après cela que, quand les équations {f) sont satisfaites, l'équation (e) l'est pareillement ; maisil n'en faut pas conclure avec quelques auteurs que l'inflexion dans la première courbure, caractérisée par les équations (f)9 entraîne nécessairement l'existence d'une inflexion double. Il en résulte
seulement que l'expression de gj, donnée ci-dessus, se présentera sous la forme £ ;• et afin d'en déterminer plus commodément la vraie valeur, prenons x pour variable indépendante : nous aurons
ds ~ (y' x" — *' y")* + y"« + ****
Les deux termes de cette fraction s'évanouissent pour y" = 0, z" = 0, et il en serait de même de leurs dérivées du premier ordre par rapport à la variable indépendante x ; mais si Ton passe aux dérivées du second ordre, il viendra
do y'" x* — z'ntf
valeur qui ne pourrait devenir indétenninée que si Ton avait à la fois y1" = 0, z"' = 0, et qui est en général différente de zéro.
La même chose se voit par une figure ; car soient tm, m, ml%m%{fig. 70) quatre sommets consécutifs du polygone gauche, à côtés infiniment petits, que Ton substitue à la ligne à double courbure : on peut regarder le plan qui passe par les points tro, m, mt> comme le plan oscillateur en m, et celui qui passe par les points m, mi7ml9 comme le plan oscillateur en ml [225]. Ces deux plans se coupent suivant une droite mO. Maintenant rien n'empêche que, sans changer l'inclinaison des deux plans, et en déplaçant seulement leur ligne d'intersection, on amène le côté mml dans le prolongement du côté £nm ; ce qui fait évanouir l'angle de contingence en m, tout en conservant à l'angle de seconde flexion sa valeur.
Mais quand les équations (f) sont satisfaites pour toutes les valeurs de x, y, z, la ligne est droite, et par conséquent l'angle de seconde flexion s'évanouit aussi bien que l'angle de contingence.
232. Une courbe tracée dans l'espace peut être considérée comme l'enveloppe de toutes ses tangentes [189], ou de toutes les droites avec lesquelles sa tangente vient successi-
vement coïncider, en se déplaçant dans l'espace d après une loi donnée par la forme de la courbe. Mais la réciproque n'est pas vraie ; et une droite qui se meut arbitrairement dans l'espace peut ne pas avoir, et n'a pas en général de ligne enveloppe qu'elle vienne successivement toucher en divers points, dans ses différentes positions. Soient, pour plus de généralité,
les équations d'une ligne quelconque, équations dans lesquelles £, y), Ç désignent les coordonnées courantes, et a un paramètre arbitraire dont la variation continue détermine les changements continus que la ligne peut éprouver dans sa forme et dans sa position : les équations de la ligne enveloppe, si elle existe, sont données en £, n, Ç par l'élimination de a entre les deux équations précédentes et leurs dérivées par rapport à a,
Mais on aurait ainsi plus d'équations qu'il n'en faut pour déterminer les deux équations de l'enveloppe cherchée ; à moins que la valeur de « en £, *i, Ç, tirée des premières équations (a), («'), ne fût égale, pour toutes les valeurs des coordonnées, à celle qu'on obtiendrait en éliminant a entre les deux dernières équations des mêmes groupes.
Appliquons ceci aux droites d'intersection de deux plans infiniment voisins, normaux à une courbe donnée : ces droites sont évidemment perpendiculaires aux plans oscillateurs correspondants ; et l'angle qu'elle forment entre elles, quand elles deviennent infiniment voisines, est précisément celui que nous avons désigné ci-dessus par dO. Nous avons trouvé [227], pour les équations en £, n, ç, de celle de ces droites qui correspond au point (x, y, z),
(5 — W) dx + (t» - y ) dy + (« — z) dz = 0 , (*)
La variable indépendante f , dont on conçoit que x, y, z sont fonctions [222], tient lieu du paramètre variable que nous désignions tout à l'heure par a ; ou, ce qui revient au même, on peut supposer que * varie avec t. Or, nous remarquerons que Téquation (b') a déjà été déduite de l'équation (b) par une différentiation relative à x, y, z, considérés comme fonctions de U Donc, si Ton différentie de nouveau par rapport à t les équations (b) et (6'), on n'introduira qu'une équation nouvelle, savoir :
(Ç - x) dlx +■ (u — y) d*y + ({ — z) d%z
— 3 (dxd*x + dydÈy + dzd*z) = 0 ; (V)
et par conséquent nous tombons dans le cas exceptionnel de l'existence d'une enveloppe. Donc il existe une courbe qui a pour tangentes les normales aux plans oscillateurs de la première courbe, chacune de ces normales étant Tintersection de deux plans normaux consécutifs. Selon la remarque de Fourier, l'anglede contingence ou de première flexion, sur la seconde courbe, est égal à l'angle de seconde flexion, au point correspondant sur la première courbe ; et réciproquement l'angle de contingence de la première courbe est égal à l'angle de seconde flexion au point correspondant de la seconde courbe. Pour établir la réciproque, qui seule a besoin de preuve, nous remarquerons que les tangentes de la première courbe comprennent des angles égaux à ceux que forment les plans normaux, et que le plan normal de la première courbe est le plan osculateur de la seconde. En effet, l'équation (b) est celle du plan normal ; et en vertu des équations (&'), (6"), cette équation subsiste quand on y remplace x, y, z par x -f- dxy y + efy, z -f- dz, puis par x -f- idx -f d*x, y -f 2dy + <Py, z + 2dz + d*z ; de sorte qu'il com-
prend trois points infiniment voisins pris sur la courbe dont les coordonnées courantes sont £, », ç.
233. Quand on désigne par £, », ç les coordonnées du centre de courbure, on a, pour déterminer ces trois coordonnées [227], les équations (b), (b% et en outre l'équation du plan oscillateur
xfê-a?) + Y(«-y) + Z(ç-*)=:0. (C)
Si donc on conçoit que les coordonnées x, y, z et leurs différentielles des deux premiers ordres aient été exprimées en fonction d'un variable indépendante t, il n'y aura plus qu'à éliminer t entre ces trois équations pour avoir deux équations en £, *, ç seulement, qui seront celles de la ligne sur laquelle se trouvent tous les centres de courbure de la courbe proposée.
Puisque Ç, », ç sont des fonctions de t, nous pouvons différentier l'équation {b) en faisant tout varier, et ainsi il viendra, à cause de l'équation (b'),
dçdw + dr4y + dçdz = 0 : (g)
d'où il suit que la tangente à la nouvelle courbe, menée par le point (£, », Ç), est perpendiculaire à la tangente menée à la courbe proposée, au point (#, y, z), et comprise dans son plan normal.
De même l'équation
(? - a)* + („ — y)« + (ï — ,)t = ff
quand on y fait tout varier, et qu'on a égard à l'équation (b), donne
<E-«) d\ + („ y) dn + (? - z) d, = fa, d'où l'on lire, en posant dP + du* + d& =<&«, ±dp __%~x di » — y dn Ç — x </;
Le second membre de cette dernière équation exprime le cosinus de l'angle que le rayon de courbure p forme avec la tangente à la courbe qui est le lieu des centres de courbure de la proposée. Quand la proposée est plane, cet angle s'évanouit, et Ton a dp = + (h. De ce résultat, comparé à l'équation (g), on conclut que le lieu des centres de courbure est en même temps la développée de la courbe proposée.
Pour montrer qu'il n'en est plus de même quand la proposée cesse d'être plane, ou que la direction du rayon de courbure ne se confond plus avec celle de la tangente à la ligne des centre de courbure, il suffit de prouver que le système des rayons de courbure n'a pas d'enveloppe, ou qu'on ne peut pas tracer dans l'espace une ligne que tous ces rayons viennent toucher.
A cet effet, remarquons que la direction de la droite p est donnée par l'intersection du plan normal et du plan osculateur ; qu'ainsi les deux équations de cette droite en |, n, ç sont
(ï — x) dx + (>î — y) dy + ({ — %) dz — 0, (6)
Pour avoir l'équation de l'enveloppe des droites p, si elle existe, il faut joindre à ces équations leurs dérivées par rapport à la variable indépendante t. On obtient ainsi, en ayant égard à l'équation (c'),
(l — w)#x + (* — y)dty + (ç—z)<Pz — <&=-0, (6') (ç~a?}rfX + (iî-y)dY + (ç-z)rfZ = 0. <*\)
Or, des quatre équations (6), (c), (6') et (c\) on déduit, par l'élimination des binômes £ — x, n — y, K — s, une équation de condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées x, y, z et leurs différentielles, pour que les droites p puissent avoir une enveloppe. Par exemple, les équations
(b), (c), (b') domient les valeurs de I — x, m — y, £ — z, déjà écrites au n° 228, et ces valeurs, substituées dans l'équation (c\)9 la rendent identique avec l'équation (e), laquelle exprime, comme on Ta vu, que la proposée est une courbe plane, quand elle est vérifiée pour toutes les valeurs de Xj t/, z.
On arriverait au même résultat, mais moins simplement, en exprimant que le second membre de (g±) doit se réduire à l'unité pour toutes les valeurs de x, y, z.
De ce que la ligne des centres de courbure n'est plus une développée quand la courbe proposée cesse d'être plane, il ne faudrait pas conclure que les lignes à double courbure ne peuvent avoir de développées : mais comme la construction des développées, pour les lignes à double courbure, se rattache à la théorie des surfaces courbes, nous n'en traiterons que plus loin.
234- Appliquons les formules données dans ce chapitre à la ligne désignée sous le nom d'hélice, qui est tracée sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire, de manière que la tangente à la courbe forme un angle constant avec les génératrices du cylindre, ou (ce qui revient au même), de manière que la courbe se change en ligne droite par le développement de la surface cylindrique sur un plan. Soient R le rayon du cylindre dont nous supposerons que l'axe se confond avec celui des z; <p l'angle compris entre le plan des x z et celui des plans menés par l'axe dans lequel se trouve le point (#, y, z) de la courbe ; a la tangente trigonométrique de l'angle constant formé par la tangente à la courbe avec la génératrice du cylindre : la définition de l'hélice donnera immédiatement
x = R cos y, y = R sin y, z = «Ry ; (A)
du moins en admettant qu'on a fait passer l'axe des x par le point où l'hélice pénètre le plan x j/.
On en conclut, pour les équations en coordonnées rectangulaires des projections de la courbe sur les plans des a z et des y z,
ff = Rcos — , y = Rsin — ; (i,)
quant à l'équation de la projection de la courbe sur le plan
x y, elle se confond évidemment avec celle de la trace du
cylindre
af + ^aR1. (A.)
On aurait encore l'équation
J-tagâ- (M
qui est celle de la surface engendrée par une droite qui se mouvrait en restant parallèle au plan x y , de manière à s'appuyer constamment sur l'hélice et sur 1 axe du cylindre.
Il est bon de remarquer que le système des équations (fcf) ne représente qu'une seule hélice, savoir celle qui est définie au moyen de l'angle <p par les équations (fe); tandis que le système des équations (fet), (fe8), ou celui qui serait formé de la combinaison de l'équation {hz) avec Tune des équations (fej, sont propres à représenter en outre l'hélice qu'on obtiendrait en remplaçant , dans les équations (h) , <p par ît + ?• Cette superfétation qui a lieu pour certains systèmes de projections et non pour d'autres, est analogue à celle que nous avons signalée à propos de la cycloïde [1 76].
On trouve pour les équations de la tangente
sinj cos? a 9
et pour celle du plan normal
(Ç — x) sin f — (u — y) cos ? — a (ï — z) = 0 • On en conclut que le plan normal forme un angle constant
avec celui des a? y, ce qui ressort d'ailleurs de la définition
de la courbe.
Les coordonnées £, m du point où la tangente à l'hélice au
point (a?, y, z) pénètre le plan $ y9 sont données par les
équations
ç — a?=r-sinp =Rj sin y, u — y =— -cos j = — R? cos j,
d'où l'on tire
Soient A tw B A (/fy . 7 1 ) l'intersection du cylindre et du plan x y ; A le point où l'hélice pénètre ce plan ; mp la projection de la tangente à l'hélice au point qui se projette en m sur le plan x y ; ft le point où cette tangente pénètre le plan : la droite mp touchera le cercle eh m ; et il résulte de l'équation précédente que la portion de droite mp a la même longueur que l'arc A m. Donc, si la tangente à l'hélice se meut en touchant constamment cette courbe, le point ft où elle pénètre le plan x y décrit sur ce plan une développante du cercle donné par l'intersection du cylindre et du plan : et la développante a son rehaussement [221] au point où le plan est pénétré par l'hélice.
235. On a, en prenant l'angle ? pour variable indépendante, ce qui est conforme à la nature de la courbe,
(fcp = — Rsinptf?, dy =Rcos^^ âx^aRâ?; d*x = — R cosfdf*±(Py=2 — Rsinydy1, <P*=0; d*v = R sin }df*> d*y = — R cos jd?1, d'z = 0 .
Désignons de plus par i l'angle constant dont la tangente est a : il viendra
d* = ,df, fip*= 0;
au moyen de quoi la formule (/>,) donnera pour la mesure de la première courbure
i cos'i
et Ton aura aussi pour la mesure de la seconde courbure, d'après les formules du n° 230,
dB sin i cos i
Ts~ ' R '
L'équation du plan oscillateur devient
tangt [(ç— x)sin? — (* — y) cos?] + ç — % = 0,
ou plus simplement, en vertu des équations (fe),
Ç — z = a (v cos o — Ç sin y) ;
et Ton reconnaît qu'il y a une inclinaison constante sur celui des x y.
On a pour les coordonnées £, to, Ç du centre de courbure
S = — a* R cos f, n = — a* R sin ?, Ç — a R?, (15)
valeurs tout à fait analogues à celles de x. y, z en fonctions de <p, et qui montrent que la ligne des centres de courbure est une seconde hélice, tracée sur un cylindre qui a aussi pour axe Taxe des z et dont le rayon est a2R. D'ailleurs cette ligne se trouve, comme la première hélice, sur la surface définie par l'équation (fes) ; et comme les équations (h), (r) donnent les mêmes valeurs pour z et pour £, il s'ensuit que les deux hélices ont le mémo pas, ou que les variables z, ? reçoivent le même accroissement quand l'arc 9 augmente d'une circonférence.
Il résulte encore de la comparaison des équations (ft), (1) que le rayon de courbure p est dirigé suivant le rayon du cylindre (fe,) ou suivant la droite mobile qui décrit la surface {h9) ; et par conséquent qu'il coupe à angle droit l'axe de l'hélice. Comme on a de plus
dfr = ±: R sin * . dy, p = const . ,
on conclut on outre de la formule {gt) que le rayon p coupe à. angle droit la tangente à la ligne des centres de courbure. Au surplus, ceci résulte sans calcul de ce que p est dirigé suivant le rayon du cylindre sur lequel est placée la seconde hélice, lieu des centres de courbure.
Enfin, dans le cas actuel, la ligne des centres de courbure se confond avec l'enveloppe des droites d'intersection des plans normaux consécutifs, ou avec la ligue dont la seconde flexion est égale à la première flexion de la courbe proposée, et réciproquement.
