DNS

R— hr(1+ N°)

OZP=FT

Les composantes de g suivant les trois axes étant

Rs, —Qy+ny, —Pxr+nx, il vient

g=VR'2+ (Q y — R?) (y Ex?)

ou, en vertu de l'équation (4) du n° 90,

Pour exprimer cette valeur en fonction de la latitude Z, nous pourrons supposer que le point attiré est situé dans le plan 20 y ou que æ — 0. Au moyen des relations 2 2

dy SC, ane

on trouve Re

VAE N cos

Si l’ellipsoide est assez peu aplati pour que l’on puisse négliger la quatrième puissance de à, il vient

s=Re(i—

l'accélération de la pesanteur varie ainsi proportionnellement au carré du sinus de la latitude.

On peut mettre cette dernière formule sous la forme g—= K(i1— k'cos20),

k et Æ étant deux constantes dont la première représente la valeur de la pesanteur à la latitude de 45°.

96. Discussion relative à la possibilité de l’ellipsoïde à trois axes inégaux comme forme d'équilibre. — Pour continuer la discussion que nous avons commencée au n° 9,0, nous remplacerons, dans les formules (4), (5'), (6’), La variable & par une autreË, déterminée par

la relation

LU — ) Vi+c et nous poserons OR DT EMONTE NT Vs Ve d’où — a LR CPOMENS puis

R VE ET) (st E 1) Er),

ces formules deviennent

HAT ORNE DONS RS (6) G NES P I) ol EE SE € dû (8) ou 1 CÉPOITCEEUR 1. (SE) 1 SES, “in € d£ =, — Sep: ee * D Re. oies

et s et & sont Les inconnues de la question. L’équation (7) montre que l'énase nr Qrou s C1. / Mr ou encore c<@0, c <a, c'estra-dire que le plus petit diamètre principal de l’ellipsoide est l'axe de rotation, ce que nous savions déjà.

Pour discuter l'équation (3), représentons par F son premier membre, soit

: ME dé sd, (10) F=(—s— 0) f ni) Ro :

En posant on DEN Sent PS tee lat, SPA Rte (1118) A, = f ser [a+ (3—s—71) —stC]d, ANR on à dE (12) Ze an E-: ASE,

et, comme s et £ entrent symétriquement dans F, on doit avoir aussi

dE (121) Te — don is Nous allons maintenant prouver que A, et 2A,+ 3A, sont positifs.

En intégrant, entre o et « , l'identité

:| ce É RE+(3+s +) —astti— 35e tt ARE NT EMMA 2(5t +1) (+R + on à

(4 de (13) of Ke a LA +s+e)t— 35 — 351%] dt,

et, en retranchant de l'équation (11) la moitié de ce résultat, il vient ne MOCCEE ad Tr = hs DU nee

En ajoutant les équations (11) et (11”), multipliées respectivement par 1 et, à l'équation (12), multipliée par — {, on trouve

°-{2( 4 2A6+ BA 3350) f RE,

DE LA FIGURE DES CORPS CÉLESTES. 253 et, à l'inspection des valeurs de A, et de 24, + 3A,, on voit qu'elles sont nécessairement positives.

« ; De dE dE .

Il suit de là que les dérivées =, =>; mises sous la forme

dE 3 l :

= +4) 3 (2A0+ 3A:), dE : $ 2 2m 0 25) 3 (240 À 3A1),

sont négatives et que, par suite, la fonction F est décroissante quand on fait croître s et £.

Pour une valeur de £compriseentreoet r, l’équation (7) admet pour s au moins une racine comprise entre les mêmes limites, puisque les hypothèses s —o, s — 1 donnent, pour le premier membre, deux résultats de signes contraires. Cette racine estunique; en effet, en admettant qu'il y en ait plusieurs, et soits’ la plus grande, comme on doit avoir

s'+t<1, on aurait & fortiort

Em mais, en faisant décroitre s depuis s’ jusqu'à zéro, la fonction F va en croissant à partir de zéro et ne peut plus s’annuler; par suite, l’hypothèse d’une seconde racine est inadmissible. De même, à chaque valeur de s comprise entre o et 1 correspond pour £ une racine de l’équation (7) comprise entre les mêmes limites.

Faisons décroître s à partir de sa plus grande valeur 1 : la fonction F croitra et ne pourra redevenir nulle que si £ augmente. On finira par avoir 4 —s, puist > s; mais il est clair que l’on peut se borner à considérer les valeurs de s et £ pour lesquelles s est plus grand quer, ce qui revient à supposer que best le plus petit des deux demi-axes de l’équateur. En désignant par + la valeur de # correspondant à s = 4, l’équation (7) devient

€ dé

(14) (ar) = f € dt 2.

0 (+1) (E +1) 0 (Té+1)(E+ 1)?

la valeur de + est un peu supérieure à +, et & variant de o à +, s varie de rà%.

Discussion relative à la vitesse angulaire. — On à

dob, n'acp He eudr", # Ch 7e ds + Fr dé, À ds + Te db 0,

d’où, par l’élimination de ds,

3 dt {de dF de dF (19) pre dE é ds ds an)

ds Or, en posant

| a tn. + (Er) dé Es sp euh G—ist)dt, B,— [ nr +5

l'équation (8) donne

do s et, à cause de la symétrie de v en s et #, on doit avoir aussi À de l (16') 27 = Best Bio(s— À).

Le coefficient B, est évidemment positif; il en est de même de B,, car, en faisant la différence entre l'expression de 4B, et le second membre de l'équation (13), on trouve

“Be= f sers s—t+ste?) d, à R

valeur qui est essentiellement positive.

Au moyen des équations (12), (12), (16), (16’), on trouve, sans difficulté,

dv dE de dF

ds dt dt ds

4" = 1) FAR Ets AB € sh Pi]

S — st 3st . 2 sb + AB, + (244841) (s LE “Ja |

valeur qui est positive, puisque celles de A,, 2A,+3A,,B,,B,,(s —6)

n que l’on a aussi le sont et I

JS D 35 AO NN EMI 7 ]Z 0.

Il résulte de là, en se reportant à la formule (15) et en se rappelant que

dE ; ; x : ; :

as eStnégalif, que de et dt sont de même signe et que, lorsque l’on fait

varier { depuis zéro Jusqu'à +, # croît et atteint son maximum ?’ lorsque ROMA =:

Commeonas+i>t, R>> VC(C + 1)66, on déduit de la formule (8)

1 d eve f re

(SCT)

le troisième membre de cette inégalité s’évanouissant avec #, on voit que, à chaque valeur de # comprise entre o et’, répond un seul couple de valeurs réelles de s etc, et tous Les ellipsoides obtenus de cette manière sont différents; pour e > 6’, l’ellipsoide à trois axes inégaux ne peut plus être une surface d'équilibre.

A mesure que e augmente et que s et £ se rapprochent de +, la forme des ellipsoïdes tend de plus en plus vers celle de l’un des ellipsoïdes de révolution dont nous nous sommes occupé plus haut, et elle l’atteint lorsque ? — +’.

Discussion relative au moment de rotation. — L'équation donne (9)

9 — (s + Ab (& A de de) | pe) [(se 2 E)ds + (st — 25?) df], + \ds dt 1 a(s€) 3(st)

et, en éliminant ds au moyen de l'équation

dE dE Ts ds + LC il vient ’ SEE) dE || dome at ESA CONS UE TE FRE TM PET IP OC MEN CErTÉ |

Te dv dF : ; Si l’on remplace v, 4° a Par leurs valeurs, que fournissent les équa-

tions (8) et (10), on trouvera l'expression de de , D AFS 70 = (2 ALAMO TS El Ar

et une simple permutation de lettres donnera celle de

de a 26— 4s |dF ds SG IA En posant

A st st ASUS E = st) ro A OA OA = — * HS ser s ( He 3 SE c

A ss S+é CG (s+t) + st=(Ao+ Co) >

il vient 2 2" 2 ag Fe nu re t) [ sn (Co + 16 + Ge) dt.

A # dk . R5 (SE) FÈ 0

Deteques-7=h10n2 s+t—hst>(s+t} —4st—(s —1} > 0,

d’où il suit que C, est positif et, comme conséquence, qu'il en est de même de C,, G.

dE ; 5 5 x : ; Comme -— est négatif, on voit que, lorsque £ croîtra depuis zéro

ds jusqu’à +, la quantité q ira en décroissant et atteindra sa plus petite valeur g' lorsque l’on aura $s —t—7, c'est-à-dire lorsque l’ellipsoïde

sera de révolution. Pour s = 1, t —o, l’équation (9) donne g =. Ainsi g prend toutes les valeurs comprises entre zéro et l'infini lorsque te varie de + à zéro ets de + à 1. Donc à chaque valeur de g supérieure à g' répond un seul ellipsoide d'équilibre à trois axes inégaux; mais, pour g << q', l'ellipsoide de révolution est seul possible,

Supposons que les valeurs s et # qui conviennent à l'équilibre soient

connues, et proposons-nous de déterminer celles des demi-axes de l’ellipsoide, nous avons

M rp abc;

De l’équation dE dF

7 rte — ds . dt ; <

en ayant égard aux formules (12) et (12’), on tire

A +- À S Res ab Tee ds foie d’où MENT sud .

Comme les quantités dE (s — 4€), A, Ao+A;it— F F5

sont positives, le produit s£ croit avec £; d’où il suit que & plus petu axe c alteint son maximum quand l'ellipsoide est de révolution.

Pour trouver le maximum de e ou de n, il suffit de supposer x — 7 dans les formules (4) et (5”) du n° 90; on arrive ainsi à

0=—A(3 +18) + (3 +14 + 32) arc tang), n? = X(3+A)—(3—X)(1+ X) arc tangi A Toi à 4x5 D d’où à E n°? ee.

À —1,3946, Grp =—=10 000008

par suite,

0,939, tandis ‘que, pour l’ellipsoide de révolution, nous avons trouvé les limites

Resa. — Mécanique céleste. 33

Supposons que les conditions du mouvement soiont, celles de la Terre; soient

e sa densité moyenne; R son rayon moyen; g l'accélération de la gravité à sa surface.

Nous avons

g—3TR, et le rapport RPORET ETC hp 5" 3 S = 4

qui est celui du tiers de l'accélération centrifuge à l'équateur à celle de la gravité, à pour valeur 0,0014986. Les équations (4) et (5’) feront connaitre les valeurs de s et de £, et l’on trouve

‘a == à — Een — 1} 010, Fou CAVE

Pour les deux ellipsoïdes de révolution, on à respectivement

On voit donc que l’ellipsoide à trois axes inégaux est trop ‘différent d’une sphère pour que l’on puisse admettre que la Terre en affecte la forme, ce qui est d'accord avec ce que nous avons dit plus haut d’une manière générale.

On remarquera que, si la vitesse angulaire diminue de plus en plus, le petit axe de l'équateur diffère de moins en moins de l'axe des pôles, tandis que le grand axe va en augmentant. Si done cette vitesse est extrêmement faible, la masse fluide affecte la forme d’une longue aiguille à peu près ronde, tandis que les deux ellipsoides de révolution étudiés en premier lieu se réduisent : l’un à une sphère, l’autre à un disque elliptique très aplati.

Ti face d'équilibre peut être celle de l’un ou l’autre des ellipsoides de

En résumé, on voit que, quand est inférieur à 0,09356, la sur-

; : ; 2 Ë ; : —. 71e révolution aplatis ou d’un ellipsoide à trois axes inégaux; lorsque ;—

atteint cette limite, le dernier ellipsoïde se confond avec l’un des pré- - n° : A cédents; pour les valeurs de 7 comprises entre 0,09356 et 0,1123, AT les ellipsoides de révolution subsistent seuls et se confondent pour la

Ge RE seconde de ces limites ; pour une valeur de

F supérieure à o,1123, la forme ellipsoidale ne peut plus être une surface d'équilibre.

Enfin, pour des conditions initiales données du mouvement, il existe toujours un ellipsoïde de révolution satisfaisant à l’équilibre, et il n'y en a qu'un seul; si le moment de rotation ne dépasse pas une certaine limite, la surface d'équilibre peut être un ellipsoïde à trois axes inégaux; au delà, cette forme est impossible.

$ LIT. — DE LA FIGURE D'ÉQUILIBRE D’UNE MASSE FLUIDE PEU DIFFÉRENTE D'UNE SPHÈRE POUVANT RECOUVRIR UN SPHÉROÏDE.

97. Les résultats auxquels nous sommes parvenu au paragraphe précédent ne peuvent être considérés que comme donnant un premier aperçu sur la forme des corps célestes, car il est à peu près certain que ces corps ne sont pas homogènes et que la densité va en augmentant lorsque l’on se dirige de la surface vers le centre. Le problème, considéré dans sa généralité, présente de grandes difficultés, que Laplace n’est parvenu à surmonter que dans le cas de la nature, celui d’un sphéroïde peu différent de la sphère.

Mais, avant d’aborder cette question, il convient d’établir que la figure d'équilibre d'une masse fluide homogène, animée d’un mouvement uniforme de rotation, est unique lorsque cette figure diffère peu d’une sphère.

98. Figure d’équilibre d’une masse fluide homogène, peu différente d’une sphère, animée d’un mouvement uniforme de rotation. — Continuons à désigner par x la vitesse angulaire de la masse et négligeons le produit, nécessairement très petit, de sa seconde puissance par la différence entre la sphère et le sphéroïde. On a, pour le travail de la force centrifuge d’un point de la surface, dont la masse est censée égale à l’unité, en conservant les notations du $ IV

du Chap. HT, n°?1A?s1n°0 TER DAC ed),

expression (n°% 77 et85) dont le second terme n’est autre chose qu'une forme particulière des fonctions Y, où Z,. En remplacant a par A(1+z) dans le second membre de la formule (15) du n° 80, négligeant le produit zZ,, puis ajoutant le résultat obtenu à l'expression précédente pour égaler le tout à une constante C, on obtient, pour l'équation de la surface d'équilibre,

Z, n°? A? DONC (1) Brat(i— 3) + dr d r (ui) GC = 06.

En remplaçant dans cette équation = par son développement XZ, et égalant à zéro les coefficients des fonctions sphériques du même ordre, on trouve

TA? (1 — Lo) + 4mA?Zo + — n'A—C, F 7 = dore ) : 16 xp a

La fonction Z, reste indéterminée; mais, en se reportant au n° 82, on peut la supposer nulle, ainsi que Z,. Pour v > 2, on a Z, =. En posant

quantité qui est sensiblement égale au rapport, à la pesanteur, de la force centrifuge à l'équateur, il vient

GAME Z;)— A[I— 5 pu +)}

ce qui n’est autre chose que l'équation polaire d'un ellipsoïde de révolution aplati et dont l'aplatissement est mesuré par +0, résultat conforme à celui que nous avons obtenu au n° 92.

L’attraction exercée par un sphéroïde homogène peu différent d'une sphère sur un point de sa surface ne donnera, perpendiculairement au rayon, qu'une composante du même ordre de grandeur que l’aplatissement et dont le carré est négligeable; on peut, par suite, considérer l'attraction totale comme étant égale à sa composante suivant le rayon.

La formule (15) du n° 80 donne, pour cette composante, en supposant a = A(1 + Z,) après la différentiation par rapport à &,

Si l’on en retranche la composante semblable, n?ASin?0 —+#rpAp(I1—1u?),

de la force centrifuge, on obtient, pour la pesanteur à la surface,

Re 15 DELS Pam p At 1e D + ou),

et cette accélération varie proportionnellement au carré du cosinus de la latitude, ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé au n° 95.

Si la Terre était homogène dans toutes ses parties, la variation relative que la pesanteur éprouverait en allant de l'équateur au pôle serait, à peu de chose près,

tandis que les expériences faites sur le pendule ont donné 0,0054. L'homogénéité n’est donc pas admissible, et nous sommes conduit à reprendre la question, comme nous le ferons plus loin, en considérant la Terre comme ayant été formée, à l’origine, par un fluide hétérogène.

99. Si une masse fluide homogène, animée d’un mouvement de rotation uniforme, est sollicitée par des forces extérieures très petites, indépendantes de la forme d’équilibre; si, de plus, cette forme est peu différente d’une sphère, elle est unique. — Ce cas est celui d’un corps céleste, en tenant compte des actions exercées sur lui par les autres astres, lesquelles peuvent être considérées comme équivalentes sur la surface d'équilibre et sur la surface de la sphère dont elle diffère peu.

En représentant par 474*bN la portion du potentiel V qui correspond à ces forces et à la force centrifuge, nous aurons, au lieu de l’équation (1) du numéro précédent,

15 e (a) L(1—3) Ne EN = const.

Supposons que = et Z, se rapportent à une figure d'équilibre et qu'il

y ait une seconde figure ayant pour rayon vecteur A(1+z+#w); si ZW, est la suite de fonctions sphériques qui représente w, nous aurons, pour cette seconde figure,

Z,+ W, Lis —w)- ) -N= const.

d’où, par différence,

ï : W, (b) 7 DW+ÿ — Const.

En identifiant les fonctions, on voit que W, = o pour = 2; W, est nul (n° 82) comme Z, par suite de l’équivalence des volumes compris sous les deux surfaces d'équilibre et de celui de la sphère. Les termes enZ, et W, disparaissant des équations (a) et (b), la fonction N ne doit pas renfermer de termes de cette nature. Si l’on prend pour origine le centre de gravité de la masse, on aura Z, — 0, Z, + W,—o, et les

rayons vecteurs des deux surfaces se réduisant à ÿ2, sont, par suite,

identiques : c’est ce qu'il s'agissait d'établir.

100. Surface d'équilibre d’une couche fluide homogène, peu différente d’une sphère, recouvrant un noyau sphérique homogène. — Soient ?’ La densité et c le rayon du noyau; l'excès du potentiel de son attraction sur un point extérieur sur ce qu’il serait si la sphère était

(rate formée par le liquide étant 57 (6 : ‘) on est ramené au cas d’une

masse fluide homogène, en introduisant cette expression divisée par 74? dans l’équation (a) du numéro précédent, après y avoir remplacé a par A(1 +); on obtient ainsi

I cure z Une L al ; sl: w (P | 4L : = (P | Der - N — const.;

la fonction Z, ne disparaît pas de cette équation et sera indéterminée ou nulle.

Soit A(I1 +: +5) le rayon vecteur d’une seconde surface d'équilibre si elle existe; on à, au lieu de la formule (b) du numéro précédent,

l cÿ « W, —3[7+ see |Sw+Y — Const d A° 2V—H+I

DE LA FIGURE DES CORPS CÉLESTES. 263 on pourra supposer, comme ci-dessus, W, — o, et la constante de cette

équation sera nulle.

Si l’on ne peut pas satisfaire à la relation

— [DE — (po! — 0 = s(e+Se-e|=

pour une valeur entière de v, toutes les fonctions W, seront nulles, et il n’y aura qu’une seule surface d'équilibre. Dans le cas contraire, æse réduira à la fonction W, et il y aura une infinité de surfaces d’équilibre, puisque cette fonction renferme 2v +1 constantes indéterminées.

101. Formules générales relatives à l’équilibre d’une masse fluide hétérogène, à peu près sphérique, pouvant recouvrir un noyau sphérique. — Soient M la masse totale ;

O son centre de gravité, pris pour origine des coordonnées lorsque le fluide a atteint sa forme d'équilibre;

n la vitesse angulaire constante de M autour de Oz;

M’, M”, les masses de corps célestes exerçant leurs attractions sur, et qui, comme nous le savons, peuvent être considérées comme étant concentrées en leurs centres de gravité respectifs.

Les éléments matériels de M se meuvent dans l’espace en vertu d’une vitesse translatoire dont on peut faire abstraction, et de leurs accélérations, parmi lesquelles nous distinguerons d’abord celles qui sont dues aux attractions de M, M”, ... L’accélération du point O est la résultante de 2 Le -..; mais, dans la question dont il s’agit, nous

OM' OM’ devons considérer O comme étant en repos relatif, ce qui revient à introduire dans le mouvement de »2 des accélérations égales et contraires aux précédentes.

Nous sommes ainsi conduit à étudier en particulier l’effet produit sur »2 par l’un M des corps célestes.

Nous supposerons que 72 appartient au fluide, et nous désignerons par a',0’, sw’ les coordonnées polaires de M’.

Le potentiel de l'attraction de M’ sur le point matériel », ramené à l’unité de masse, est, en se reportant au n°73,

M' = Frs) . Va? — 2aa'[cos6 cost/+ sin0sin®’/cos(s —w/)}]+a? € \a

te os Pre - Te UE M'., Désignant par I la projection de #2 sur OM’, l'accélération — => égale

et contraire à celle de O que 2 est censé posséder, dérive du potentiel

| ! A! ee N' - a x OI = — MO — AD.

DE a

d’où résulte que le potentiel dû à l’action de M’ sur 2 se réduit à

! = y > \ ! = y e[n()-#]-#rÿe(s) (42 (4 «& [41 «d

ou, en ne considérant que les termes dépendant de la position de», Nous représenterons par

le potentiel qui se rapporte à toutes les masses M, M’, .... Ce poten tiel se réduit, à très peu près, à

(a) DE Dr. (à);

A étant le rayon de la sphère de comparaison de la couche du sphéroiïde sur laquelle se trouve le point attiré.

Le potentiel qui se rapporte aux attractions des éléments matériels du sphéroïde sur 72 est donné par la formule (25) du n° 85, qui donne, en remplaçant & par A(1+ :) = A(1 + XZ,) dans son premier terme,

et a par 4 dans les deux autres,

4r = is : I 1 s Te 4, lA3 - hr a —— A°+3 ni | 3. ( BE e da + ) EE a pe d(A*°7,)

Enfin nous avons vu que le potentiel de la force centrifuge a pour expression

En égalant la somme des expressions (a), (b), (ce) à une constante arbitraire C, nous aurons, pour l'équation générale des surfaces de niveau exprimée au moyen des coordonnées a = A(1 + 2Z,), ©, 6,

Fe A = : A r)|| AN = a [ op d(a"#37,) (1) * Jo (2H DANS, A A : . DU n°A° MAS car Ÿ ef oder et EG DAV (S) PNEU \ dd « Posons US; te] U=—= 0,

et, pour v > 2, M' = ) SEE É ai

les quantités U, étant des fonctions sphériques de l’ordre v indépendantes de 4. En identifiant les fonctions semblables contenues dans l'équation (1), on obtient d'abord

2 A FR À A; ee p da + 2 ( 0 d(A5Zo) + 4 [ p d(4?Z5) 4- AU, = C