V HI
On pourra choisir à volonté la constante Z,, qui entre dans l’équation (2). En considérant maintenant l'équation (3) et posant be f" hr,
ce qui est une fonction sphérique indépendante de À, il vient
A A == (He OUE das + 3 p d(A'#7Z,) ( P Û 10
Fun nr
A BE 3 A2v+1 f p LOT) re 3 A2°+1 ir 0.
Aa
Si l’on différentie deux fois de suite cette dernière équation par rapport à 4 et que l’on élimine entre les résultats obtenus l'intégrale
[ pd(aZ,),
la fonction U, disparait, et l’on trouve
h. RINL, v(v +1) Gpa GE cé (2) É : Z Ë c
Fee x : da f e da ni p da
L'intégration de l'équation (5) introduira deux fonctions sphériques dépendant uniquement de set deu; une première relation entre ces fonctions résultera de l'équation (4); si le fluide recouvre un noyau solide, la seconde relation s’obtiendra en exprimant que Z, a la même valeur pour la dernière couche intérieure du fluide que pour la surface donnée du noyau; les deux fonctions dont il s’agit seront ainsi déterminées. Mais, lorsque le sphéroïde est entièrement fluide, il semblerait au premier abord que le problème est indéterminé et que, par
DE LA FIGURE DES CORPS CÉLESTES. 267 suite, il peut avoir une infinité de formes d'équilibre. Nous allons maintenant étudier ce cas, qui est d'autant plus intéressant qu'il parait se rapporter aux conditions primitives des corps célestes.
102. Figure d'équilibre d’une masse fluide hétérogène dont les couches de niveau sont peu différentes de la sphère. — En se reportant à l'explication relative à l’arrangement des fluides pesants hétérogènes, on est naturellement conduit à admettre que la densité de la masse fluide considérée va en augmentant à mesure que l’on s’approche du centre. |
S1 la masse était homogène, le rapport
serait égal à l'unité. En partant de là, nous poserons
pAë ’
re ht)
A I À ll pda 1— FE [ A do FRE Î e
en désignant par F(A) une certaine fonction qui est nulle pour 4 = 0, puisque le noyau infiniment petit que l’on peut concevoir au centre doit être considéré comme homogène : la valeur de cette fonction est inférieure à l’unité et de plus essentiellement positive; car, 9 allant en décroissant quand À augmente, le second membre de la double égalité ci-dessus est plus petit que l'unité.
En mettant l'équation (5) sous la forme
CFE RTS 6[1— F(4)] dZ, (2) Te UO +1)—6[1—F(a)])2 : nn
on voit que Z, est de la forme (d) LIRE,
X, étant une fonction sphérique de l'ordre v en 5 et w indépendante de A et À, étant uniquement fonction de 4.
Par la substitution de l'expression (a) dans l'équation (5), on trouve
(Ah EN CN
6[1—F(a)] dh,.
LC +1) —6[1 F(a)]|A, EN
Concevons que L, soit développé en une suite de termes ordonnés sui-
vant les puissances ascendantes entières ou fractionnaires de 4, et soit Ne GUN a 0
ce développement. En le substituant dans l’équation (6), on trouve
Gr (S+v+3)(s—v+a)aas + (s + v +3) (s —v+2)aas 2 +... 7 Ü —GF(A)[(s +r)aas + (s + r)aas2+...].
Si l’on conçoit que F(A) soit développé de la même manière que k,, ce nouveau développement ne pouvant pas renfermer de terme indépendant de 4, puisque F(o)= 0, 1l faut, pour que l’on puisse identifier les deux membres de l'équation (9), que l’un des termes du premier membre soit nul et que, par exemple, on ait
d’où deux valeurs pour s. Pour chacune de ces valeurs, on identifiera les autres termes du premier membre avec ceux du second, et l’on obtiendra ainsi deux séries dont la somme, après qu'elles auront été multipliées chacune par une constante arbitraire, sera l'intégrale complète de l'équation (6). Mais, dans la question dont il s’agit, on doit rejeter la valeur s — — (+ 3), pour laquelle la fonction Z, serait infinie au centre, et l'on ne peut, par suite, admettre que la série
I = CN PEN EL à Pour v — 1, l'équation (6) est satisfaite par )
a fn =— “1e A
Mais, comme l’origine est au centre de gravité du sphéroïde, on à (n° 82)
r a 7 Des L= = XI = ON d'OURE D.
A l'inspection de l'équation (7) on reconnait que les coefficients «!, 4,, .. se composent chacun de deux facteurs, l’un «,, l’autre indépendant du précédent. Mais on peut supposer le premier de ces facteurs égal à l’unité, puisque cela revient à le comprendre dans X,.
Si, lorsque v est au moins égal à 2, la quantité 2, commence à croître avec À à partir de A — 0, elle ne cessera pas de croître avec
é CE, ne ARE : ES 7.
cette variable, car autrement Fr décroitrait ou deviendrait négatif, ce qui est incompatible avec l'équation (6), puisque v(v +1) > 1 — F(4)
dA
et que serait essentiellement positif.
On pourra satisfaire à la condition que la fonction F(4) soit très pe-
tite pour de très petites valeurs de 4, en posant
É et x étant des nombres positifs entiers ou fractionnaires. L'équation (7), après y avoir fait s—v — 2, «,=1 devient, par la substitution de cette valeur,
(SENS) (5 — va) a+ (sy 3) (sv Lojatasr p., = 6B(y— 1)aMtr3t + 6B(s/+1)a airs, d’où CT et (S'+v+3)(s —v+2)a —68B(v—1), s"—2—X\+s — 0,
On déduit de là
7 5 SV NX 2
à [6B\? G—1)(+ hr) 2 Khan)
par suite,
68 VE n GB\? (0 —1)(v+À—17) :
À. — AT? ! Lee & à a7F—2 E l à : Une TS al. = ; LIN ETES ETES RU
se da
GB(v—1)(v +2 — 2) X(2V+X1+I) [GEB\? (V— 1 (V+X—-r)(v+2Xx— 0) (+) 2(3V-r 8e) à
Av+i—3
= (v —- D) AE +
ME er Non Eee
et ces deux quantités sont essentiellement positives quand v est égal ou supérieur à 2.
Lorsque y est égal ou supérieur à 3, la valeur de U, est insensible pour la Terre, la Lune, Jupiter, etc., et l'équation (3), en y remplaçant Z, par 2,X,, se réduit à
A à É Sol e d(A?"h,)— (av +1) vf p da A 0
A == sf au) | X,— 0:
Si l’on désigne par H, ce que devient X, à la surface ou pour 4==1,, il vient : A1
Ai E (2v +1)A H e di+3 f p awn)| NC
En effectuant les intégrations par parties et en groupant convenablement les termes,
y A, ci Lee 2(v— 2)pH, + f [(2v+1)H,—32,] (i) dx 0.
x : do Comme, pour y? 2, À, croît avec 4, on à À, <H,; d'autre part, zx St
négatif; Le coefficient de X, est donc essentiellement négatif, et il faut, par suite, que l’on ait X, — o pour v => 2. Le rayon vecteur d’une surface de niveau se réduisant à
A(1+ Zi + 2),
il s'ensuit que les surfaces de niveau sont des ellipsoides. Pour simplifier l'écriture, nous ferons dorénavant 4, = 1, ce qui re-
vient à considérer À comme représentant le rapport du rayon moyen d'une couche élémentaire à celui de la surface du sphéroiïde.
Supposons qu'il s'agisse de la Terre et négligeons les attractions des astres extérieurs; nous devrons prendre simplement
Revenons maintenant à l'équation (3), où nous ferons = 2; supprimons l'indice devenu inutile de H, et k, et remplacons Z, par X,2; nous avons
1 1 2 [ten f p du f 700) Xe 4)—0.
Soit n°?
(e) RE sf p daÿ César)
le rapport, aux termes du second ordre près, de la force centrifuge à l'équateur à la pesanteur à la surface. L'équation précédente donne
(32) X— F f eat) Het fete a ou We) Xe — k(u— +),
en désignant par
(8) ve
une constante qui ne dépend que du volume et de la composition de la
masse fluide. Le rayon vecteur & de la surface de niveau, dont le rayon moyen est À, sera donc
a =Afi1+Z— kh(u?— 1).
Si nous profitons de l’indétermination de Z, pour établir la relation
il vient simplement a—aA(i1—Khpu?),.
On voit ainsi que la surface de niveau considérée est un elhpsoide de revolution autour de l'axe de rotation dontles demi-axes principaux sont a et A(1+/#h), et dont £h est l’aplatissement ou, si l’on veut, l’elipucite.
Nous avons fait remarquer plus haut que 2 croit avec À, d’où il suit que l'aplatissement des surfaces de niveau va en croissant en allant du centre à la surface.
L’aplatissement de la surface libre a pour expression (A) E — ci ,
pe d(a5h) TE :
f e da
rs D : . - ; etest supérieur à +; puisque À croit avec À et que le dénominateur de
son expression est, par suite, inférieur à 2H. Si nous posons
ll — 7,9 Fe u croitra avec 4, et l’on aura dAÿh . du CULLINRS ; Ps PU p A RE Je das + A3 do)
d à 5 er os 3 Ne fr . É a 1 d'A? J'A d ,
d'où Je d(ASh) = u fe da + [du [ À de.
Comme « augmente du centre à la surface libre, tandis que o dimi-
nue, la seconde intégrale de cette expression est négative, et l’on a, par suite, Je d(A$h) < u [p dai,
et, à plus forte raison, en remplaçant & par sa plus grande valeur H correspondant à A — 1,
ed AIN fe di ou
et la formule (2) donne, par suite, E < iv,
c’est-à-dire (n° 98) que /4 Lmute superieure de l'aplatissement est l’aplatissement qui correspond au eas de l’homogéneitée.
103. De la pesanteur. — Les directions successives de la pesanteur dans la masse fluide, en allant d’un point de la surface libre jusqu’au centre, sont normales aux surfaces de niveau qu’elles traversent ou, si l’on veut, sont tangentes à une trajectoire orthogonale de ces surfaces. Nous allons d’abord chercher à établir l'équation générale de ces trajectoires, dont chacune est comprise dans un plan méridien.
Soient (fg. 10) Fig. 10.
A un point de la surface libre ; 0, l'angle que forme le rayon OA avec l’axe de rotation Oz;
REsAL. — Mécanique céleste. 39
mm un élément de la trajectoire qui passe par le point A;
