CL AIN ER IDONEESE
oir le n° 21 de l’Introduction.
La formule (2) du n° 102 nous donne, pour l’aplatissement à la sur-
face, d “ en f æ À dA 7 P +
f eduim Ut f cad }Hn+if and oH 2 10 TA (0 0 J
De la formule (12), abstraction faite du terme en N’, on déduit
[l H radi=N|(r %)sng Éeoss| 0 — g q
d'où L( à) ; 3 | oN|(1——})sing+ -cosq EF TRS B GY MT 1) #2 — = - 5 eN| (1 2) sing — © cosg He fl A5 À do qg q = 0
En remplaçant H et 2 par leurs valeurs données par la formule (13)
et do par sa valeur déduite de l’équation (7), on trouve
1 — = — g coq)
E — io = —:
re COLOR GATE GI CO)
(14) Le, So — 0,00865, on obtient
En prenant E — -, q — 2,04
et, en vertu de l’équation (9), pi = 0,458D.
Si l’on se reporte à la formule (7), on en déduit, pour la densité au
centre, 0091):
Conet sing
La pesanteur en un point intérieur du sphéroïde ou l'attraction de la
sphère de rayon À passant par ce point a pour expression A p = as f pA? da = p;(SinAg — Ag COSAg)
ou, en appelant g, la valeur de g à la surface de la Terre ou correspondant à A=7, : | . SiINAG — AG COSAG (15) 8 —=81—— cn Sing — A COSq
SiR est Le rayon de la Terre, on a, pour un petit abaissement * au-
T dessous de sa surface ou pour Da — -— +, R
Le rayon moyen de la Terre étant de R = 6366000", et la profondeur à laquelle M. Aïry a fait ses observations étant n — 385", on a
Ôg I Be qe Fan 26400
nombre beaucoup plus petit que celui, <=, qui est donné par l’expérience. Si l’on voulait que la valeur (15) de g reproduisit l’accroissement observé, il faudrait prendre g = 2; mais alors l’aplatissement
prendrait la valeur trop faible de +. Ainsi l'hypothèse de Legendre ne
permet pas de représenter à la fois d’une manière satisfaisante la loi de la pesanteur et l’aplatissement.
107. Hypothèse de E. Roche. — Désignons par o, la densité au centre de la Terre et par B une constante; en posant
(16) p=patr— Bat),
l'équation (1) du numéro précédent devient
dp I B IT, ci = —= Asp a da (3 == as) es F da? ($po<+p). Mais nous avons — di= — dp;
Pof
par suite CN Re
de Doip Un
Cette formule ne diffère de celle qui résulte de l'hypothèse de Legendre que par l'introduction dans son second membre d’un terme ‘proportionnel au carré de la densité.
Nous avons obtenu à la fin du n° 103 la relation
fe e A? da
{ pa! da
et, en y remplaçant s par sa valeur (16), on en déduit 6 = 0,08, d’où (17) p — po(1 — 0,842)
En partant de là on trouve, pour l’expression de la densité moyenne de la Terre,
D= sf PA di =0,900;;,
d'où Po — 1,920 D.
D'après les expériences de M. Aïry, la densité moyenne de la Terre n’est pas inférieure à 5,6; en admettant ce chiffre pour la valeur de
D, on trouve Po—10,08,
et, pour la densité à la surface, Pr 0,20 lle
Cette densité est inférieure à la moyenne 2,7 des densités des divers granits que l’on considère comme formant la partie essentielle de l’écorce terrestre.
L'attraction de la sphère de rayon 4, ou la gravité à la distance À du centre, a pour expression
x f A A5 re F e=tf pat du = Ha (3 - 0,8 F)=#at - 254),
en nous rappelant que nous avons désigné par g, l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre ou pour À — 1. On voit que l’accélération gaugmente à partir de la surface jusqu’à la distance À = ?, pour laquelle elle atteint sa valeur maximum 1,068g,, qui est supérieure de plus de + à la valeur à la surface. La pesanteur décroit ensuite, reprend la valeur g, pour 4— 0,655, puis diminue à peu près propor-tionnellement à À jusqu’au centre où elle est nulle. Pour une faible variation 34, on a
dg SAR = Fe 5 OA.
Supposons que l’on descende à la profondeur n, nous devrons faire
PI =Rr ñ CES dans la formule précédente = — +, A—1, g=—g,, d’où
R do (BTE AA HEIN
En se plaçant dans les conditions de l'expérience de M. Airy, on obtient
Pl gi 19530 La différence entre ce résultat et la fraction + donnée par l’ex-
périence est évidemment inférieure à l'erreur possible de l'observation. En faisant p — 9,(1 — BA?) dans l'équation (10) du numéro précédent, on trouve
dh . 3o(1—P4) dh 126/ — TORRES GA) CARS ECTS Si l’on pose ÿBa — , il vient æd 3o0(1— 2) dh 12
HE: (5 — 35) 0ds Mr
Comme z est inférieur à l’unité, on pourra exprimer À par une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de cette variable et déterminer ensuite l’aplatissement des couches de niveau et, par suite, celui de la surface.
$ IV. — DE LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE HOMOGÈNE, ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORME.
108. Concevons qu'une masse fluide homogène, animée d’un mouvement uniforme de rotation, soumise à ses attractions mutuelles, pouvant recouvrir un noyau central solide, subisse sous l'influence de certaines causes extérieures des modifications de forme supposées très petites, et proposons-nous de déterminer les conditions nécessaires pour que ces modifications restent très petites, de manière que, après une série d’oscillations, la masse finisse par reprendre sa forme d’équilibre. Nous aurons ainsi les conditions relatives à la stabilité de l’équilibre de la masse.
Le tout se réduit, comme on le sait, à exprimer que l'accroissement infiniment petit du potentiel, qui est du second ordre, est négatif.
Soient
(S) la figure d'équilibre de la masse;
g la résultante sur un point de la surface de (S) de l’attraction de la masse et de la force centrifuge ;
e la densité du fluide;
do, du’ deux éléments de la surface d'équilibre ;
A leur distance;
z, z' les portions censées très petites des normales correspondantes, limitées par la surface variable.
L’accroissement du potentiel est dû : 1° à l’attraction sur lui-même de l'excès sphéroïdal limité par la surface variable et celle de l'équilibre; 2° à l'attraction de la masse (S) sur cet excès combinée avec la force centrifuge. Si la masse 5 do ds s'élève au-dessus de la surface variable
au point correspondant à do, l’attraction qu’elle reçoit de l'élément
. : À # sd ps'dw' de l'excès sphéroïdal donne lieu au potentiel &? do de ——;
l'élévation dz' au-dessus de la surface variable au point correspondant
à dw’ donne de même, relativement à l'élément oz do, le potentiel
5 Â 9 du dw! ñ ; la somme de ces deux expressions étant L? - d(z21},
= pl = =
o? do dw'
il vient, pour les déplacements =, z’ au-dessus de la surface d’équilibre,
Si l’on fait la somme des expressions semblables à cette dernière pour tout l'excès sphéroïdal, ilest clair que l’on aura le double du potentiel dû à ses attractions mutuelles, puisque chaque élément s’y trouvera répété deux fois. On a done, pour ce potentiel,
— il — dw dw',
chacune des intégrales s’étendant à la surface entière du sphéroïde.
Le travail élémentaire du poids pgz do étant — og do z dz, il vient, pour le potentiel correspondant au déplacement z mesuré à partir de la surface d'équilibre,
[e] er 70
et, pour tout l'excès sphéroïdal, pires ps fg 3° du.
L’accroissement total du potentiel est donc
p? z3! dw dw' " (1) SL a — L fes du,
et cette quantité doit être négative pour que l’équilibre soit stable.
109. De la stabilité de l’équilibre des mers. — Supposons que la surface d'équilibre et celle du noyau soient peu différentes de la forme sphérique et que la vitesse angulaire n, soit assez faible pour qu'on puisse négliger le carré de la force centrifuge à laquelle elle donne lieu à la surface, par rapport à l'attraction de la masse. L’accélération d’un point de la surface produite par cette attraction sera, par suite, représentée par g.
En prenant pour unité de longueur le rayon de la sphère équi-
valente au volume du sphéroïde et, pour unité de densité, la densité moyenne de la masse, nous aurons, à très peu près,
DE
ÉFEX ni Nous avons
P, étant la fonction du n° 73 symétrique par rapport aux angles 0, Ÿ bo oe es fixent les positions de do et du’.
Soit z —2XZ, le développement en fonction sphérique de z. Nous continuerons à dite par Z, ce que devient Z, quand on y change respectivement 9 et en 0’ et sw’.
Les éléments do = — dy. ds, dw'= — dy’ d5' peuvent être considérés comme étant sensiblement sphériques, et si une intégrale sous laquelle se trouve l’un de ces éléments doit être étendue à la surface entière du sphéroïde, ses limites seront o et 47.
Nous avons ainsi (n°78), v étant différent de ,
[ ACT ET. J bec 0 0 LT &T j° A doi 0, jl NAT RS.
et, en vertu de la formule (13) du n° 79,
Il vient, par suite,
jh pue AE 2Z EP, du! LA LP, du! > 12 ?
AVE M RS er EL NT du, 2%—+I 2V-I1
" . ” 9 Resac. — Wécanique céleste. 97
Au moyen des deux dernières de ces formules, il est facile de voir que l'expression (r) devient
7, J- 2 )Z3 du 2 JE 2V HI
=- ts) f Lente (3e). de À
enremarquant que Z, est nul par suite de l’invariabilité de la masse totale. Pour que cette quantité reste positive quelle que soit la déformation ou pour toutes les petites valeurs que l’on peut attribuer à Z,, Z,, ..…, il faut que l’on ait pb 1. Donc, pour que l’équlbre de la mer soi stable, il faut que sa densité soit inférieure à la densité moyenne de la Terre.
Si cette condition n'était pas remplie, 1l y aurait certains déplacements pour lesquels les éléments matériels du fluide tendraient de plus en plus à s'éloigner des positions qui conviennent à l'équilibre, et l'équilibre serait instable pour ces déplacements.
