V. — DE LA FIGURE DE L’ANNEAU DE SATURNE

110. L’anneau de Saturne est une couronne circulaire d’une très faible épaisseur, dont le centre est celui de la planète et dont la largeur est environ égale à la moitié du rayon intérieur, ce rayon étant égal aux + de celui de la planète.

L'anneau n’est pas simple, et l’on a reconnu jusqu'ici qu'il est formé de trois anneaux concentriques presque situés dans le même plan, si toutefois on peut s’exprimer ainsi (‘).

L'irradiation doit considérablement augmenter, en apparence, la largeur des anneaux. Il peut se faire aussi que chaque anneau se compose de plusieurs autres qui, par la cause précitée, paraissent se confondre en un seul pour l'observateur.

Nous supposerons, dans ce qui suit, que chaque anneau partiel est

(1) Rayon équatorial de Saturne........... 64000" Rayon intérieur de l'anneau ........... 94000 Rayon extérieur de l'anneau........... 142000

L'épaisseur de chacun des trois anneaux partiels est inconnue; mais elle ne paraît pas devoir dépasser 120".

fluide ou qu'il l’a été, qu'il affecte en conséquence la forme d’une surface d'équilibre, qu'ilest homogène, que la distance entre deux anneaux partiels consécutifs est assez grande pour que, en raison de leurs faibles masses, on puisse négliger leurs actions mutuelles.

Chaque anneau partiel se trouvera ainsi sollicité par ses attractions mutuelles, par l'attraction de la masse de Saturne, planète que nous considérerons comme sphérique et composée de couches homogènes concentriques; enfin par la force centrifuge résultant de son mouvement de rotation autour de la planète censé uniforme, comme cela parait résulter de l'observation.

L’attraction d’un anneau partiel sur un point de sa surface étant très petite par rapport à l'attraction de Saturne, et sa largeur, dans le sens du rayon, paraissant elle-même devoir être une très faible fraction de ce rayon, nous pourrons, sans inconvénient, négliger le rapport des dimensions transversales de l'anneau à son rayon, ce qui revient à considérer ce rayon comme infini. On est ainsi ramené à déterminer l'attraction d’un cylindre indéfini de même section que l’anneau sur un point de la surface.

111. La figure elliptique satisfait à la condition d’équilibre

d’un anneau supposé fluide. — Soient

OZ l'axe de rotation et M Ia masse de Saturne;

C le centre d’une section méridienne de l’anneau:

Cz la parallèle à OZ menée par ce point;

OCy la perpendiculaire à OZ passant par le point C prise pour axe des y;.

a = OC le rayon du cercle décrit avec la vitesse angulaire n par le point C;

M la masse de la planète;

y, 3 les coordonnées d’un point » du périmètre de la section considérée de l'anneau.

Nous prendrons la densité de l’anneau pour unité. Le travail élémentaire de la force centrifuge du point » a pour valeur

(a) n(a+ y) dy.

Le potentiel, c’est-à-dire le travail total de l’attraction de Saturne sur le

même point, est, en négligeant les puissances de z et y supérieures à la seconde,

M M My

My 1 Me

toi = 2 3 3 D V(a per a a a D

d’où, pour le travail élémentaire,

(b) al Fe 2My dy __Mzds

Si l’on suppose que la section de l'anneau est une ellipse ayant pour équation (1) REX

les formules (10) du n° 71, abstraction faite du facteur 729, nous donneront les composantes de l'attraction de l’anneau sur 2, et, en les ajoutant après les avoir multipliées respectivement par dz, dy, nous avons, pour le travail élémentaire de cette attraction,

(yz ds + y dy).

La condition d'équilibre à la surface ou la somme des expressions (a), (b), (c) égalée à zéro sera

M s bn 2M : : BTy ML (En «jar e- mn n) à dy + (I + )sds=o.

Pour que cette équation coincide avec l'équation différentielle de l’ellipse, il faut que l’on ait

RÉTNESNM DL y +1 a ef (d) ee) ÉRROTee 2, Ven a d’où l’on déduit, par l'élimination de »?, (2) MS share : na (y+1)(3y +1)

On voit, d’après cette formule, que + doit être supérieur à l'unité ou que l’anneau est nécessairement aplati. Considérée comme une équation de y, elle a deux racines positives, puisque son second membre

devient nul pour y = o ety = >.

Le maximum du second membre de l’équation (2) correspond à

et à pour valeur 0,0543026.

Si l’on désigne par R le rayon moyen et par D la densité moyenne de Saturne rapportée à celle de l’anneau, on a M—:xRD,

et, d’après les chiffres que nous venons de donner, la plus grande valeur que l’on puisse attribuer à D, en se reportant à la formule (2), est

En supposant que l’on prenne pour a le rayon moyen de l’anneau total, on à à peu près (42 R — 2, et 1,3 pour la limite supérieure de la densité de Saturne. De la première des relations (4) ou

on conclut que chaque anneau partiel se meut autour de la planète comme un satellite place à la méme distance.

Il suit de là que la période de ce mouvement doit être de oï,/44 pour l'anneau intérieur, ce qui est conforme à l’observation.

112. Instabilité de l’équilibre d’un anneau régulier et irrégularité nécessaire pour la stabilité de l’équilibre. — Nous avons supposé à l’anneau de Saturne une forme régulière; mais, pour que son équilibre soit stable, il est nécessaire que la distribution des masses qui le constituent n'ait pas ce caractère d’une manière absolue, soit que la section soit variable, soit que son axe curviligne soitexcentrique ou à double courbure, soit enfin qu'il ne soit pas homogène dans toutes ses parties. Ces inégalités de forme, quoique très faibles, sont indiquées par les apparitiôns et disparitions de l’anneau dans lesquelles les

deux anses présentent des phénomènes différents. Sans ces inégalités, l'anneau, sous l'influence du plus faible déplacement dû à la cause la plus légère, telle que l'attraction d’un satellite ou d’une comète, finirait par se précipiter sur la surface de Saturne.

Supposons, en effet (fig. 11), que le centre de Saturne soit en O et que le centre de l’anneau déplacé soit en C, et considérons une des cir-

Fig. 11.

conférences matérielles dans lesquelles cet anneau peut se décomposer; la corde ab menée en O, perpendiculairement à OC, déterminera, dans cette circonférence, les deux arcs inégaux adb, ad'b, dont le premier sera plus petit que l’autre. L’attraction de Saturne ou de O sur deux éléments rar, m'n' des deux arcs, déterminés par deux cordes infiniment voisines passant par O, sera plus grande pour le premier que pour le second, d’où résulte que l'attraction de la planète sur l’are adb sera supérieure à celle qui se rapporte à ad'b ou que l'attraction totale sur la circonférence sera dirigée de O vers GC et tendra à éloigner le second de ces centres du premier. Le centre de l’anneau supposé régulier ou composé d’un certain nombre de circonférences semblables à Ja précédente finirait donc par s'éloigner de plus en plus de celui de la planète, et l'anneau arriverait à se joindre à Saturne.

Les divers anneaux qui entourent le globe de Saturne sont, par conséquent, des solidesirréguliers d’une largeur inégale dans les différents points de leurs circonférences, de telle sorte que leurs centres de gravité ne coincident pas avec leur centre de figure. Ces centres de gravité peuvent être considérés comme autant de satellites qui circulent autour du centre de Saturne, à des distances qui dépendent de l’inégalité des parties de chaque anneau, avec des vitesses angulaires égales à celles de leurs anneaux respectifs.

113. Dans le Chapitre précédent, nous avons reconnu que la Terre doit affecter la forme d’un ellipsoide de révolution, en partant de cette hypothèse qu’elle a été primitivement fluide et que le refroidissement n’a pas dû modifier sensiblement la forme de sa surface libre.

Cette induction théorique est-elle admissible? C’est ce que les mesures géodésiques peuvent seules décider. Or on sait que les opérations de cette nature ont pour objet de déterminer la forme et Ja longueur des arcs d’une classe de courbes appelées lignes geéodésiques, définies par cette propriété, savoir que chacune d’elles est le plus courtchemin de l’un de ses points à un autre, sur la surface de laquelle elle est tracée. On est done conduit, en premier lieu, à déterminer la relation qui existe entre la forme d’une surface et les lignes géodésiques.

Une ligne géodésique jouit des deux propriétés suivantes :

1° Son plan osculateur est normal à sa surface (");

(1) On arrive facilement à ce résultat par les considérations élémentaires suivantes : Soient

a, b deux points infiniment voisins d’une courbe quelconque ;

O le centre de courbure en a;

s — aOb l’angle de contingence au même point; c la longueur de la corde de l'arc ab = ds; p le rayon de courbure Oa.

RE | eÿ ’ c2 ’ 02 = — = le] = — D£ D = ’ RS Ro AS (GE P 24 PAC lt

On a

d’où

Si «. b sont deux points d’une courbe tracée sur une surface, on voit que ds sera mini-

2° Un point assujetli à se mouvoir sur la surface, sans l'intervention d'aucune force extérieure, décrit une ligne géodésique (*).

La recherche de l'équation générale des lignes géodésiques d’une surface présente, au point de vue de l’intégration, de grandes difficultés, qui n’ont été surmontées, pour le cas simple des surfaces du second degré, qu’en ayant recours à l'emploi des coordonnées curvilignes.

Nous nous bornerons, dans ce qui suit, à étudier le seul cas réellement utile dans la Géodésie proprement dite, étudié par Laplace et à la solution duquel nous conduira d’une manière très simple la théorie des mouvements relatifs.

Pour déterminer une ligne géodésique, il suffit de se donner les positions de deux points par lesquels elle doit passer ou un point et la direction de la tangente à ce point.

114. Lignes géodésiques d’un sphéroïde très peu différent d’une sphère. — Soient (fig. 12)

Fig. 12,

Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires menés par le centre O de la sphère dont le sphéroïde diffère peu;

mum quand p sera maximum, ce qui, en vertu du théorème de Meusnier, démontre la propriété énoncée.

On comprendra, sans qu’il soit nécessaire d’insister sur ce point, qu'un are géodésique peut être le maximum de la distance d’un point à un autre sur la surface.

(1) En effet, l'accélération du mobile est normale à la surface, comme la réaction de ectte surface à laquelle elle est due.

r= a(1+u)le rayon vecteur d’un point quelconque 7 de la surface du sphéroiïde, a étant la valeur de ce rayon relative à un point déterminé ;

m', Iles projections de » sur le plan æ0 y et sur Oz;

, dles angles m'Ox, mOm';

AB une ligne géodésique du sphéroïde, cette ligne étant censée décrite par le point #2 qui n’est soumis à l’action d'aucune force extérieure, en vertu d’une vitesse constante qui reste arbitraire.

Nous admettrons que toutes les valeurs que peut prendre la fonction u de et à sont assez petites, ainsi que celles de leurs dérivées, pour qu'on puisse en négliger les carrés et leurs produits deux à deux.

Désignons par A le point de départde la ligne et prenons pour a la valeur du rayon vecteur de ce point. Cette ligne ne différera que de quantités de l’ordre & du grand cercle dont le plan est mené par la tangente en À, censée donnée en direction, soit immédiatement, soit indirectement.

Soient R, M, P les composantes de l'accélération du mobile 72 suivant Om, sa perpendiculaire en » comprise dans le plan mOz, dans le sens de l'accroissement de ÿ, et la perpendiculaire au même plan dans le sens de l’accroissement de %.

La position du plan x0 y pourra être choisie arbitrairement par rapport au plan du grand cercle ci-dessus, à la condition toutefois que ces deux plans fassent entre eux un angle de l’ordre de &. Il suit de là que à sera de cet ordre et devra être traité comme la fonction & au point de vue du degré d’approximation convenu.

Supposons que « soit développé en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de à, et soit

U—= Up + 0 + Ua +...

ce développement, dans lequel le premier terme est du premier ordre, le second du second ordre, etc.

Nous emploierons la lettre 9 pour caractériser les différentielles partielles relatives à la surface du sphéroïde, en réservant la lettre d pour désigner les différentielles qui se rapportent à la courbe.

Resaz. — Mécanique céleste.

On a, aux termes du second ordre près,