LS

égale à adkOx = ad, il vient

d.mk a da

tangs — = V cosa —

>: dè (11) (aie) GERS

115. Application à la Géodésie. — Les formules précédentes deviendront immédiatement applicables à la Terre en les transformant convenablement en coordonnées géodésiques. Nous nous bornerons à examiner les deux cas particuliers développés dans le t. II des Œuvres de Laplace.

Nous rappellerons que le séxuh en un point de la surface du sphéroide terrestre est l'intersection de la voûte fictive, dite céleste, avec la normale en ce point. Le méridien céleste au même point est le plan déterminé par la ligne des pôles et le zénith, ou encore le plan qui, passant par la ligne des pôles, est parallèle à la normale au point considéré de la surface.

La latitude en un point de la Terre est Le complément de l'angle formé par la normale avec la ligne des pôles; on donne à ce dernier angle le nom de colatitude.

La longitude d'un lieu est l'angle compris sous le méridien céleste correspondant et un méridien céleste fixe.

La longitude et la latitude ou la colatitude sont les coordonnées employées en Géodésie, par le motif que ce sont celles qui se prêtent le mieux aux observations.

1° La tangente au point de départ est parallèle au méridien céleste correspondant.

Soient (/ig. 13)

PP’ l’axe de la Terre;

PAP’ le grand cerele passant par la tangente AT au point de départ A;

A' la projection de A sur son méridien, qui, aux termes du second ordre près, se trouve sur la circonférence comprise dans le plan de ce méridien et dont le diamètre est PP’.

Nous prendrons le plan PAP" pour plan des æy et OP pour direction de l'axe des æ; nous conserverons d’ailleurs les notations qui pré-

cèdent.

L’angle V représente alors l'angle formé par les méridiens des points

m et À, c’est-à-dire la différence des longitudes de ces deux points; la colatitude du premier de ces points; & l'angle formé par la tangente en B avec le méridien de ce point et qui est nul pour le point A par suite de la condition que nous nous sommes imposée.

Fig. 13.

mi IDR | D \ \ \ A = \\ LA D'AD\ dd

En affectant de l'indice zéro les quantités qui se rapportent au point A, nous avons &, — 0, V,—0o; les valeurs des dérivées partielles affectées de l'indice zéro seront celles qui correspondent à æ = o, et la formule (11) nous donne, par suite,

Comme à — à, est une quantité du premier ordre ou nulle avec w, on

: dè VOILQUe =

dy négligée d’après ce qui a été convenu, et la formule (11) se réduira à la

» développée suivant les puissances de ($ — à,), devra être

(12) V cosb — 5.

Si le point » est suffisamment voisin de À, on pourra remplacer dans cette formule Ÿ par d,, et l’on aura simplement

(121) VIcOS =:

On voit ainsi que, par l'observation seule et indépendamment de la connaissance de la figure de la Terre, on peut déterminer les longi-

tudes des extrémités d’un arc géodésique qui a été mesuré, et si la valeur de 5 déduite de la formule (12’) est telle qu’on ne puisse pas l’attribuer aux erreurs d'observation, on sera certain que la Terre n'est pas un sphéroïde de révolution.

2° La tangente au point de départ est normale au méridien correspondant.

Nous conserverons aux lettres P, P’, À, A’ la même signification que ci-dessus; aux termes du second ordre près, la direction de la droite AA est celle de la tangente en A.

Nous prendrons pour axe des x la direction de OA’ et pour axe des y la perpendiculaire en O au plan P A’P’.

Soient ( g. 14)

Fig. 14.

o, o, les colatitudes de 7x et de À; à l'angle POA’, qui ne diffère de 9, que d’une quantité de l'ordre deu; Oz la perpendiculaire en O0 à OP comprise dans le plan PA'P".

Aux termes du second ordre près, l'accélération de »2 à pour composantes :

RE A A A co eo de suivant Ox (a) Y=Rsine + P cosa — Môsina=R sine + P cosx... » O0 y sino M cosd = RôoM POP suivant Os (EX = (R cosx— Psins) SM = (Ro EM) cos » O7 ou (b!) X—R(cosasinÀ —3cos2,) — Psinzsine, — M cosc,,

ls Resar. — Mécanique céleste. 99

et enfin

(e) Z=(R cosa — P sina) cos) +(RÔ+M})sin}... suivant OP

(cu) Z=KR(cosacosX +5sine,) — Psinxcose,+ Msino,.

Nous avons, par suite,

7 : 1 Le COSO — ——COSa COS} OÔSiINv, -—SINdCOSC, SIN) ; R + oi R R :

ou, en vertu des formules (g) du n° 114,

; OUI ë COSY — COS a COS À + Ô Sinpo+ -— SinxCOSY — — Sin Po. | DE où }

Pour le point A, la valeur , de « est du premier ordre et à est nul;

on a ainsi, en se rappelant que les dérivées de w doivent être considérées comme étant indépendantes de à,

où

(Lo) ve : du

SIN À — Sin 9; — —< COS Yo.

| . du .

| COS COS 2 SIN Co, | où

Il vient donc

O1 du (14) cose — cosa Cose, + à sinvs + à. Sin % COS 29 +

x TS (cos2—1)sinvs.

Si nous désignons par U l’angle compris sous les méridiens des points m et À ou la différence des longitudes de ces points, nous avons

Rsina + P cosa

tangl=e—

X R(coszsinA — 3 cose) — Psinzsine, — M cos, tang a 1 G M M = — —— Ô COS Vo + —SiNvy + — COS sin Cos’asin?v, SORT AM ESS

ou, en se reportant aux formules (g) du n° 11#et (13),