Équations d’Hamilton. — Nous supposerons dorénavant que
les relations entre les 37 coordonnées x, y, z et les Æ variables w sont indépendantes du temps; la fonction T ne dépendra plus alors que de ces variables et de leurs dérivées w’ par rapport au temps.
En remarquant, par exemple, que l’on a
re TOR dE AURERdE se DX 2.
MR CT du, du”
on voit que æ’, y’, z’ sont des fonctions linéaires des w’ et que, par
suite, T est une fonction homogène du second degré en w,,u,,. .; et, en posant
d'T (b) jo == PA
nous aurons, d’après un théorème connu, (12) 2T=pu, Faure =ZEpu.
Il est évident, en raison de ce que l’on vient de dire, que les p, sont des fonctions linéaires des w; et que, inversement, les w; pourront s’exprimer linéairement au moyen des p; que nous leur substituerons. En nous plaçant à ce nouveau point de vue, nous emploierons la caractéristique d, au lieu de d, dans la représentation des dérivées partielles;
T ie ce .
gr sera la différentielle partielle par rapport à «
de la fonction T des p et des u.
Nous avons ainsi
ra d ainsi, par exemple, ;
IT __ AT, GLS RICE 11 du du’, | du. du NET T DNT NIORREET Aer Rae ea " | dt al a adT du, au du, . dp du, dp a du, dp Dia ra dp Pa dp re
Si l’on différentie successivement l’équation (12) par rapport à wet à p, on voit que
CSP ne () rare Pa É
| d'E / AU TE, "
2 u D + De dp ms dp Pa dp En comparant entre elles les premières, puis les secondes des équations (ce) et (d), il vient
(13) mil ul 2 ST FINE AN DPF L'équation (10), mise sous la forme
dp dT dU
CTI TT OT
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE
Sa
se trouve ainsi remplacée par ces deux autres :
: A ne TU T & dÙÜ du dr CE) ARE CAE CT ENT pe En posant (e) T—U—=H
et remarquant que U est indépendant des &’ par suite des p, on a
dr au, UE Qu rrre
les équations (14) deviennent ainsi
de CD HEC ULESU EE QE 7e de ie dp
Les équations de cette forme ont reçu le nom d'équations canoniques du mouvement.
En retranchant l’une de l’autre les équations (15) multipliées respectivement par les variations arbitraires du, dp de u et p, on obtient la suivante :
du 2p — dp du = dt 1H “dH,, u èp Ip àu — Ju 4 de dpi )e
qui les comprend toutes les deux.
Si l’on ajoute les équations semblables à cette dernière, en y remplaçant successivement p Par Pi, Pas «.., EN Même temps que &w par &,, #5 alyient
(16) E(du ip — dp èu) — dti, SH étant la variation totale de la fonction H quand on y remplace p,, DR Un DATI DPI APS Opera Li 0U4, Uri Our.
et il est clair que l’équation (16) comprend toutes celles du mouvement.
4. De la fonction principale. — Hamilton a donné ce nom à la fonction
nl (15) s= | MEAU)ar
re) INTRODUCTION.
Re AT EU = f DIECT Dr «de
mais, en intégrant par parties, on voit que
is d! CAN fau a [+ —— du = [Tdi =T Qu — dur 0u dt;
il vient, par suite,
