QI
| R® (9) [r ae u.)| + CR —2U—0O,
d'où, par l'élimination de C,
KR 2e oo, UC (0) ed nn en ER re IFRS 2 ua? Re 2 ua?
(11) [1 QG t u)| R3 | [FE Er nat: +) R 5 BR: — 0.
Il résulte de ces équations que les couches de niveau, sensiblement spheriques vers le centre de gravité, vont en s'aplatissant en allant vers les pôles et en s'allongeant dans la direction de l'astre extérieur à mesure que l’on s'éloigne de ce centre.
En effet, en posant va R' 1e R
l'équation (ro) donne
nl An IR
(12) Qu ea . à
d’où
(13 de 2—29
lé nr — —— —— … du 2 aus (ru)
et cette dérivée est positive, puisque pe 1; ainsi, quand on s’éloigne
À ; : : ; R du centre ou que R croît, u décroît, et 1] en est de même de v — FR:
Dans le voisinage du centre, & est très grand et, en vertu de la for-
re Be UE À an ART ; mule (12), # diffère peu de l'unité; + étant très petit, + reste sensiblement égal à l'unité.
R' CDR R° l’équation (11) donne , nes G+u)le+fi+y(+u)lw, (ei 2 — 941 É dr d’où dsw D 19 (x?
dudou+re types re vu)?
Le numérateur de cette dérivée est positif; 1l en est de même du dénominateur lorsque 1 — y(1+u)Zo.
Supposons maintenant que l’on ait
1—Yÿ(1+u) Lo; pour que la valeur (14) soit positive, 1l faut que
,2+4G+u) Tor ll Il suit de là que
au+2+y(i+u)—3[y(i+u)—-i]a?>olu—2—y(i+u)]
ou que le dénominateur de . est positif, puisque, d’après la condition (8), le second membre de 1e inégalité est positif.
Ainsi donc È croit avec R, et l’on verrait, comme pour le centre, ce rapport est sensiblement égal à l’unité.
pr que, vers
120. Discussion de la surface libre d’une atmosphère. — Nous appellerons surface libre de l'atmosphère la plus grande des surfaces de niveau fermée, c’est-à-dire celle qui atteint la surface limite. C’est à la surface libre que se termine l’atmosphère quand elle s'étend aussi loin
DE LA FIGURE DES MASSES GAZEUSES QUI ENVIRONNENT LES CORPS CÉLESTES. 319 que possible; mais elle peut se terminer à une autre surface de niveau intérieure.
Pour trouver la valeur de la constante C qui correspond à la surface libre, il suffit d'exprimer que le demi-grand axe R de cette surface est égal au plus petit rayon r, (n° 118) de la surface limite ou que
= V/ L Far, Ho rer)
En ayant égard à cette valeur, la troisième des équations (9) donne
(16) CiR= à me d’où (16/) ce 3 Vr+ryG+u) UE « et me) (ay) Gta)
Les équations (12) et(14) deviennent
(17) + S[2+y(G+m)]e—2l2+yG+n)]=o,
(18) [i—yG+p)}ei+i2+y(i+u)]w—-o2f2+y(i+u)]—=o. De l'équation (17) on tire
des ES D dpi y) (30 — 2)?
du. CAD IeN drn Ge?(1— 6)
et, comme s est inférfeur à l’unité, ces dérivées sont constamment positives, c’est-à-dire que # croit avec & et y. Le minimum de +, qui correspond à & — 0, y — 0, est donné par l'équation pi Gp — 4 —=o, qui n’a qu’une racine réelle dont la valeur approchée est 0,626. Le maximum de ?, qui a lieu pour = ,y—=, est 5 — 0,667, et l’on TA RS à voit ainsi que, dans tous les cas, — diffère peu de *.
Lorsque y ety seront donnés, on pourra toujours calculer le rapport e au moyen de l’équation (17), et1l n’y aura pas d'incertitude, puisque
cette équation a deux racines imaginaires et une racine comprise entre 00201610, 007 L'équation (18) donne
dw y(m—1r) (m2) | Des GE u)(r nr +2) AT D LOrPt (1160) MONT LS (1 — (1) d
et, comme æ <[ 1, ces deux dérivées sont positives ou æ croit avec y ety. Le minimum dew, qui correspond à # — 0, ÿ = 0, est donné par la même équation que celui de » et a pour valeur approchée 0,626. Son maximum, qui à lieu pour = ,7— x, dépend de l’équation
Di— 3v+2—(v—i)}(m+2)—o
ou est égal à l'unité. Le rapport de l’axe moyen au grand axe ne pourra donc varier qu'entre 0,626 et l’unité, limites entre lesquelles se trouvera comprise l’unique racine réelle de l’équation, qui correspond à des valeurs données de w et de y, sir — y(1 +») > 0; dans le cas contraire, cette équation à une racine négative, une racine positive plus grande que l'unité et une autre racine comprise entre 0,626 et 1 qui conviendra seule à la question.
' - : $ 3U 5 - L'équation (4) donne, en substituant à C la valeur +; qui convient
à la surface libre, et en y remplaçant x par x +R, de manière à placer l’origine à l’un des sommets situés sur Ox,
22? + 4Rx +2R— y = 2 lu d V(TER) Eee 2+oRz+R+yt 3u Ai ler FE ==
Pour æ —=0, y =0, 3 —0, les trois dérivées partielles du premier ordre du premier membre de cette équation, que nous désignerons par F, sont nulles; 11 y a donc, par suite, au sommet une infinité de plans tangents dont l'équation de l'enveloppe est
GERS Le æF (2 2e (Te de Fe Der ( LA ŒF æ&ŒY GAEN 84 + (£ je Le (e 7)» ue Ca ) Mo
DE LA FIGURE DES MASSES GAZEUSES QUI ENVIRONNENT LES CORPS CÉLESTES. 321
ou, en remplaçant F par sa valeur, (19) CEE BEN b ae 370;
équation d’un cône du second degré qui est de révolution autour de Ox lorsque + — o. En vertu de la symétrie, l’autre extrémité du grand axe jouit de la même propriété.
Au delà de ces deux points singuliers, la surface libre formera deux nappes indéfinies qui ne peuvent offrir de l’intérêt qu'au point de vue géométrique.
121. Des surfaces de niveau extérieures à la surface libre. — Examinons maintenant ce que deviennent les surfaces de niveau au delà de la surface libre.
La troisième des équations (9) donne
Un DUT [2 cn AU EU )] ne \ 7 € (== Æ = , [a ne EN) où - / 2 y Nes AC ; Se ; NOT dR Re?
On voit ainsi que les surfaces de niveau qui coupent l'axe Ox à des distances croissantes depuis zéro Jusqu'à la valeur (15), correspondant à la surface libre, répondent à des valeurs de C décroissantes depuis l'infini jusqu'à la valeur (16).
En supposant que CG aille encore en décroissant à partir de cette limite (16), on aura des surfaces de niveau qui couperont la surface limite, mais qui ne rencontreront plus l’axe Ox, puisque R devient imaginaire. Les courbes d’intersection de l’une de ces surfaces de niveau avec la surface limite satisferont à la condition
obtenue en retranchant de l'équation (3) l'équation (5) multipliée par r.
REsAL. — Mécanique céleste. 4
En considérant 9 et } comme constants, l'équation (3) donne
dC O7 Me 2 al 2y(1+u)rsin?0 Re (O0 SiN COS UN) D se I b) dr a?
et, en éliminant 0 et à au moyen de la même équation,
dr Ï ACL D (e mn Æ\ < Eos)
Tant que cette dérivée aura une valeur finie, deux surfaces de niveau consécutives, répondant aux valeurs C et C + dC de la constante, différeront infiniment peu. Mais, d’après la formule (x), dans le voisinage de la courbe suivant laquelle une surface de niveau traverse la surface
dr
libre, TC devient infini.
En considérant la surface libre, puis la surface de niveau correspondant à une valeur un peu moindre de C, on reconnaitra que la seconde surface enveloppe la première, qu’elle en diffère infiniment peu jusque dans le voisinage de l’axe Ox, mais que, au lieu de couper cet axe comme la surface libre, elle s'arrête avant de l’atteindre, devient tangente aux rayons vecteurs partant de l’origine O et s'éloigne ensuite
indéfiniment.
122. De l'atmosphère solaire. — Nous pouvons 1iei supposer vu =, attendu que l'attraction des planètes sur un point de l’atmosphère est négligeable par rapport à celle du noyau solaire, soit en raison de la petitesse relative de leurs masses, soit par suite de leur éloignement de la masse qu'elles attirent.
En vertu de la formule (3), les surfaces de niveau ont pour équation générale
