PR

| = CEE + 2va° ÿ*|

Ô—1)r— 2var?cosù + 2pa*

SI SX

pour l’équation de la courbe qui passe par le point A, et

(1—w)(3cos?0 —1)7— 2war? cosÔ + 2 pa

(8) 3 me 3 us — 6 2 = ——, (de (Es — (do) 2 ” = PEU ©) ñ 204 Vi

pour celle de la courbe qui passe par le point A’.

La seconde des courbes représentées par les équations (7) et (8) est extérieure à la première ; en effet, comme toutes les courbes de niveau, elles ne se coupent pas, et la seconde rencontre Oz; car, si l’on désigne respectivement par r, et R, les valeurs der dans les équations (7)

et (8) qui correspondent à à — -; on obtient par soustraction

tue :/4 oi (i—9)(RÈ — 75) + 6(R;,—7r0)(1 — ya (Roi NETAVES

d’où

Sr

La forme de ces courbes se déduit des deux théorèmes suivants :

1° Une courbe de niveau quelconque est tangente au rayon vecteur en chacun de ses points de rencontre avec la courbe limite.

Car, si V — C est l’équation générale des courbes de niveau, on a

aN TRE dù De NN dr

et, comme

av 1. , : ns 7; = © pour la courbe limite, l'expression précédente est

infinie pour les intersections de cette courbe avec une courbe de niveau, ce qui démontre le théorème énoncé.

2° Si l’une de ces intersections se trouve sur l'axe Ox, il passe par ce point deux branches de la courbe de niveau, et la surface correspondante y aflecte la forme conique.

Car, pour Ηo, ÿ= % la dérivée par rapport à à du premier

dNV ; 0 COMM RONA ATSSI

membre de l'équation (r) est nulle, ou =

DE LA FIGURE DES MASSES GAZEUSES QUI ENVIRONNENT LES CORPS CÉLESTES. 333

av dr

a = 0; la dérivée + estindéterminée, et le point considéré est double

ou multiple.

Il suit de là (g. r9) que la courbe de niveau passant par le point A se partage en ce point en deux branches infinies et reste fermée entre À et A’; que la courbe de niveau passant par A’se bifurque de la même

manière que ci-dessus en ce point et s’ouvre au delà de ses intersections F, F’ avec la courbe limite, points où elle est tangente aux rayons vecteurs.

Ses surfaces de niveau correspondant à ces deux courbes sont : l’une fermée, sauf en A, et c’est la véritable surface libre; l’autre, se transformant au point conique À’ en une nappe indéfinie, s’entr’ouvre du côté opposé en F, F’, pour s'étendre indéfiniment. Si ces deux surfaces ne sont pas trop éloignées l’une de l’autre, elles pourront contenir une couche de niveau, entretenue par la dilatation continue du fluide atmosphérique qui s’écoulera, d’une part, par l’ouverture (F, F’) pour former une queue et, de l’autre, en A’ vers le Soleil pour déterminer un jet secondaire ou aigrette.

On reconnaitra sans peine que, tant que ® est très petit, les courbes de niveau ont des asymptotes parallèles à celles des courbes limites ; mais, dès que © prend une valeur suffisamment grande, les asymptotes sont très éloignées et n'existent plus, pour ainsi dire; les droites correspondant à cos — + ÿ£ continuent à définir les branches indéfinies.

Sie — 1, l'équation des courbes de niveau peut se mettre sous la forme

— Ca + VC'at +16 ma? cosd

Li = cos