I. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES PETITES OSCILLATIONS DE LA MER
130. Sous l’action du Soleil et de la Lune, la mer, en raison de la différence des accélérations imprimées à chacune de ses molécules et au centre de la Terre, se met en mouvement relatif par rapport au noyau terrestre tournant autour de son axe, sur lequel elle forme une couche dont l'épaisseur est une très petite fraction de son rayon. Les oscillations résultant de ce mouvement, connues sous les noms de flux et de reflux de la mer, quoique très sensibles dans les ports de l'Océan, ont cependant, comparativement aux dimensions de la Terre, une très petite amplitude, en raison même de la faible intensité des forces qui les produisent. Le phénomène est d’ailleurs compliqué par l'influence de l’inertie de la mer, des forces apparentes dans le mouvement relatif, de la variation de la pesanteur résultant de la déformation variable de la figure de la couche liquide, des frottements, des pertes de force vive dues aux inégalités que présente le fond de la mer ou aux changements brusques de section de la masse fluide lors de son passage dans les canaux qui font communiquer les ports avec la masse principale de l'Océan. C’est à ces pertes de force vive, dont il parait à peu près impossible de tenir compte dans les recherches analytiques sur les marées, que l’on doit attribuer ce retard, sensiblement constant pour chaque port, de la marée sur le passage au méridien de la Lune, dont l'influence sur la production du phénomène est essentiellement prédominante sur celle du Soleil. On sait que ce retard a reçu le nom d’éablissement du port. Quant aux frottements, comme il s’agit iei de mouvements très lents, on pourrait, à la rigueur, admettre qu'ils sont pro-
portionnels à la simple vitesse; mais on en fait généralement abstraction dans les recherches analytiques sur les marées, recherches qui ne sont dès lors que de pures conceptions théoriques, ayant surtout pour objet de faire ressortir l'influence considérable des résistances que l’on néglige.
Malgré ces simplifications, le problème des marées présente de très grandes difficultés, qui n’ont pu être surmontées que dans quelques cas particuliers, en se donnant à l'avance une loi de profondeur qui ne peut pas être celle de la nature et en remarquant que la partie des oscillations dépendant de l’état primitif de la mer a dû bientôt disparaitre, par suite de la résistance que les eaux éprouvent dans leurs mouvements; de sorte que, sans l’action du Soleil et de la Lune, la mer seraït depuis longtemps parvenue à un état d'équilibre permanent, dont les deux astres tendent sans cesse à l’écarter. On n’a donc qu’à déterminer les oscillations qui dépendent de cette action, conformément au principe suivant, posé par Laplace : L'état d’un système de corps dans lequel les conditions. uutiales du mouvement ont disparu, par suite des résistances développées dans le mouvement, est périodique, comme les forces qui solhcuent le systême.
131. Des petits mouvements d’un fluide recouvrant un noyau sphéroïdal. — Nous admettrons que le noyau a été primitivement fluide et formé de couches homogènes, peu différentes de la forme sphérique ; qu'il a été uniquement soumis à ses attractions mutuelles et à la force centrifuge, et que sa force générale est une figure d’équilibre, en négligeant ainsi l’action de la masse fluide qui le recouvre, soit en raison de l’épaisseur, censée très faible, de la couche liquide qui est en contact avec [ui et qui, à l’origine, se trouvait à l’état de vapeur, soit aussi parce que la densité de la masse gazeuse ou atmosphère, juxtaposée à la couche précédente, est relativement très petite.
Quant à l'atmosphère, nous pourrons la considérer fictivement, au point de vue du problème qui nous occupe, comme étant limitée par une certaine surface de niveau (S), peu différente de la sphère, au delà de laquelle la densité du fluide pourra être négligée.
Par ce qui précède, nous voyons que nous rentrons dans les conditions de la question du n° 101, en supposant le sphéroïde limité par (S); les
surfaces de niveau, de la catégorie dont nous avons à tenir compte, sont alors des ellipsoides de révolution, peu aplatis suivant la ligne des pôles.
Soient (/£g. 20)
O le centre de la sphère dont diffère peu la surface du noyau sphéroidal ;
n la vitesse angulaire de la masse totale autour de la ligne des pôles Oz;
a’ le rayon moyen de la surface de niveau qui passe par le point 7»? de la masse fluide ;
r—=a' +", le rayon vecteurOm, rencontrant en », la sphère de rayon a’;
l'ig, 20,
6 la colatitude du point »2 et s sa longitude estimée dans le sens de la rotation 7;
g la pesanteur absolue de »2 ou l'attraction de la masse limitée par (S) sur ce point. Cette pesanteur peut être considérée comme constante pour tous les points de la surface de niveau passant par m2, aux termes en #, près, qui sont censés très petits;
e la densité du fluide en 72 rapportée à la densité moyenne du sphéroïde prise pour unité;
p la pression correspondante.
Sous l’action d’astres plus ou moins éloignés du noyau sphéroïdal, la masse #2 éprouvera lentement un déplacement run’ qui restera très petit, quel que soit le temps écoulé. Soient æ la projection den, m»'sur Om,; u, v les projections de 72m’ sur la méridienne sphérique de »,, dirigées respectivement suivant l'équateur, et la tangente au parallèle en», menée dans le sens de la rotation ». Nous négligerons les termes du second ordre en #,, w, u, v, Y compris leurs dérivées.
REsaz. — Mécanique céleste.
