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Le rayon vecteur r et les angles 0 ets sont devenus, pour la posi-
tion »', (0
[42 r= d'Esp, 0 DD 1 ——— + IP r sinô
Si mn fait partie d’une atmosphère, la pression et la densité éprouveront des variations et n’auront pas généralement les mêmes valeurs aux différents points de la couche de niveau déformée.
En se reportant à la théorie des mouvements relatifs, on a, pour les composantes de la force centrifuge composée de #’, en y joignant les composantes semblables relatives à l’inertie (*),
NCA d , 2 n sin 0 ES 1 ES SES suivant æ du MS dv a { — 2n|cos0 ——- + sin0 EE » ç \, | ( de de dE Ds GT 2 n COSÙ — MOT ON Pound db 0 » u dt de?
Il n’est intéressant pour nous que de suivre une molécule #7’ sur la surface de niveau déformée de m#. En considérant un déplacement infiniment petit de 7»’ sur cette surface, on aura dr’ — dw, et le travail élémentaire de la première des forces (a) sera du second ordre ou négligeable. Si l’on remarque que db’ et do’ ne diffèrent de d9 et do que de termes du premier ordre, la somme des travaux élémentaires de la deuxième et de la troisième des forces (a) sera
dæw\ 6e de dt?
(b) — [an (cos 9e + sin 9e —— De |e'sin0 dm + (ancost® — DE) ad.
Le travail de la pesanteur est (c) ; — g dw.
En considérant n°, qui est une quantité très petite, comme étant de l’ordre des déplacements, le travail élémentaire de la force centrifuge de n° sera égal à celui de 72, ou à
(d) — d(r? sin?6);
(1) Voir notre Traité de Mécanique générale, {.1, Chap. VII de la première Partie.
la différentielle se rapportant au passage du point #2 à un point infiniment voisin de sa surface de niveau.
Si donc on désigne par p’, ?’ la pression et la densité du fluide en m', par dp' l'accroissement de la pression lorsqu'on passe de 7° à un point infiniment voisin de la surface de niveau déformée, et enfin par V le potentiel du à l’action des astres étrangers et à la modification éprouvée par la pesanteur par suite de la déformation des couches de niveau, nous aurons, eu égard aux expressions (b), (c), (d) et en vertu d’un principe connu,
k du UT &p :
—|an(cos0 sin) : a! sin0 di dt dt de
de du n? NE dp' + (2 n COS TN ee a'd0 — g dw + = d(r?sin?6) + dV — Fr
mais, en supposant que 2 se déplace sur sa surface de niveau, il vient n°? Me d(r? sin?0) — g# dm, — 0.
Si donc on retranche cette dernière équation de la précédente et si l’on
désigne par z l'élévation # — w, positive ou négative de 77, dans son déplacement, au-dessus de la surface de niveau, on trouve
l 1 du nds PE:
ue — Lan (cos Aie sin 0 a) Lu Fe | a' sin0 do dé ru\ ne udp + (an cos0 7 — L di — 9 ds + dV = —.
A cette équation nous devrions joindre l’équation de continuité, mais nous nous réservons d'établir ultérieurement cette dernière en étudiant les deux cas spéciaux des liquides et des gaz.
132. Équations des petites oscillations de la mer. — Nous prendrons pour unité le rayon moyen a’ de la surface d'équilibre de la mer. La profondeur de la mer au point », que nous désignerons par y, étant très petite, nous pourrons supposer que les déplacements éprouvés par les molécules situées sur un même rayon, lors de l’équilibre,
sont égaux. La formule (A) nous donne, à la surface de la mer, Fan du p 2 de — |2n(cos0 — + sir —— |sin0 | n(e S PA Tr 109 ) + PTE (o)
do ® u dt de
+ (an cost 7) dû — g'dz + dV — 0.
La profondeur y, en »+’ étant égale à la profondeur, correspondant au même rayon lors de l'équilibre, augmentée de z, on a
dy re dy © db de Sinô |
L'élément superficiel sphérique — dcos6.d5, qui se rapporte au point mn, devient en m’
dcos(ô+u) d :
( d cos0 &( x 5) cos0.dw d(usin) dot” — — dcos0.de | j ie 7 L sin 0 dô sin 0 |
L’équation de continuité s’obtiendra en exprimant que ce dernier élément, multiplié par y,, est égal à — y dcosô.d5, ce qui conduit à
; d(yusin0) d(yv) (b) sin 0 d0 sin0 ds
LA
Comme la profondeur y est très petite, il résulte de cette formule que = div
est très petit par rapport à wet y; pourra donc être négligé È [ PARSEAPT Dir À gs dans le premier terme de Ve équation (a), qui se décompose ensuite dans celles-et :
(UD ee -
| dt? CL MERE te é
Ne | LT + on cost dz net dE? = 0 5 7 AS ;
Si nous posons cosb — y, les équations (c) et (b) deviennent
du den — d L:
Rein Ad nd) d? l
(1) Ts onper = LAN ER ENT
Soit SZ; le développement de = en fonctions sphériques. La portion V’ de V qui se rapporte à l’excès sphéroïdal aqueux, déterminé par la déformation de la surface d'équilibre de la mer, sera donnée par l’équation (14) du n° 80, en y faisanta—a=—1,et l’on aura
Z, Z V!— Aro £ 0 vd 2V +1 CAS 2V+1
en remarquant qu’on peut supposer ici, en négligeant seulement les termes du second ordre,
Enfin, si l’on désigne par V’la portion de V relative à l'attraction des astres, 1] vient
(2) gs—V=gsh (ie) ve
Les équations (r) étant linéaires en &, ?, z ou Z, et V, on voit que, st V' se compose de plusieurs parties, l'oscillation totale s’obtiendra en faisant la somme des oscillations partielles résultant de chacun des termes de N', considérés isolement et successivement.
En admettant que les frottements du liquide sur lui-même et sur le noyau solide donnent une résultante proportionnelle à la simple vitesse, ce qui ne paraît pas devoir être exact, et en désignant par à une
