LAS LOIRE RS
o, Ÿ, 8 Les angles ;0x, x OX, Z0z, ce dernier angle étant aussi celui qui est compris sous les plans æ0y et XOY;
My AM OI, les projections sur Ox, Oy, Oz du moment, par rapport au point O, des forces extérieures qui sollicitent le corps.
REsAL. — Mécanique céleste. 48
Nous avons
dp Sd A + (B — C)g7 = AN;, dq à:
B+ +(C—A)rp =, Ur 4 £ : Ge + (A — B)pg — 9, ; (39 | db > ras F dt == — p COSG + 7 SINY, do ocre 3 10 5 na + g CosSv) cotô + 7, do dy | — — — SES ((E / 5 cos 0 7 (2)
(1) On trouvera une démonstration très simple des trois premières de ces formules à la page 340 du tome I de notre Traité de Mécanique générale, où l'on devra remplacer », p, 4, JA respectivement par — p, — qg, —7, — JI, par suite du changement de notation et : de convention relativement au sens des rotations positives. Les autres formules se déduisent de celles du n° 43 du même volume; mais, comme les changements de notations et de sens des rotations pourraient donner lieu à quelques ditlicultés, nous croyons devoir les établir
directement.
Les rotations p et 4 donnent les composantes X = P COSY — qSiny, suivant O7.
ñn = pSiny + q COSY, DO
Cette dernière se décompose en ces deux autres : l’une,
PSin® + q COS
En > suivant OZ;
fl ==
l'autre, :
z = (psSiny + gcosw)cotf, suivant Oz, à laquelle il faut ajouter r.
Or, dans un temps infiniment petit, les composantes y, Z, z ont pour effet de faire varier respectivement 0 de — 49, ÿ de — &}, # de dy. Nous avons donc
COS in RU D C0 0 y No — La tte POS UE dy psiny +qcose , — SR —#/ dt sin 9 CIRE .
ne (p Siny + 7 COSw) cotO + r = z;
d’où les formules du texte.
On remarquera que l’on a aussi dl
PO Sin Le BE + CO80 Tr + n Co.
di dt
NT
$ IE. — Du MOUYEMENT DE LA TERRE AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITÉ.
158. Les phénomènes relatifs à la précession des équinoxes et à la nutation font connaître que la Terre, dans son mouvement autour de son centre de gravité, ne tourne pas autour d’un axe absolument fixe dans son intérieur, mais autour d'un axe instantané qui se déplace avec une extrême lenteur. Ce déplacement de la ligne des pôles peut-il être attribué à ce que, dès l’origine, l’axe de rotation ne coincidait pas exactement avec un axe principal d'inertie? C’est ce que nous allons d’abord examiner sans faire intervenir les actions du Soleil et de la Lune, en supposant que l’angle formé par les deux axes reste constamment très petit, puisque, d’après les mesures géodésiques, la ligne des pôles diffère peu d’un axe de symétrie.
159. Du mouvement initial de la Terre autour de son centre de gravité. — Dans ce qui précède, nous supposerons que O est le centre de gravité de la Terre, que Oz est l’axe principal d'inertie qui diffère peu de la ligne des pôles, ou axe instantané de rotation, et que M — 0.
La composante r, sensiblement égale à la rotation de la Terre, est très grande par rapport aux composantes p et q, et si l’on néglige le produit de ces dernières, la troisième des équations (A) donne, pour la valeur approchée de r, une constante que nous désignerons par r. Au même degré d’approximation, nous pourrons faire r —7r, dans les deux premières des mêmes équations qui ont par suite pour intégrales
[ D —H7r SIN Ce) 7H Cos (ar ee), 1 1
(0 An . C—A (2) frs AB 1 AVE
et en désignant par H et « deux constantes dépendant uniquement des conditions initiales du mouvement.
Pour que pet g restent toujours très petits, comme on l’a supposé, ou que la ligne des pôles diffère constamment peu de l’axe Oz, il faut que + soit réel ou que C soit le plus grand ou le plus petit des moments
d'inertie principaux, et nécessairement le plus grand en raison de l'aplatissement de la Terre aux pôles.
Soient à et v les angles formés par le plan passant par Oz et la ligne des pôles avec z0x et la ligne des pôles avec Oz.
Nous avons
in(srt+e (3) COS ENT = — Sin(xr, nn ) Vp®+g® . Vsin’(arste)Æecos(arot ee) - (4) COSVE==
VarTes
Pour obtenir l'angle y qui est petit, 1l faut tenir compte dans r du terme du second ordre que nous avons négligé. De la troisième des formules (A), en ayant égard aux valeurs (1), on tire
AI Die (.
r=r|: cn Ca Micos2(art + |:
Nous avons alors
COSY 1 — — L' + + EE — Dcosa(ars +e) | par suite (5) V—E[r+e+i(é—1)cos2(ar té +e)].
La Terre étant très sensiblement un solide de révolution autour de Oz, les moments d'inertie À, B doivent différer très peu l’un de l’autre; chacun d'eux diffère davantage de C, mais encore d’une petite quantité, en raison du faible aplatissement aux pôles.
Il suit de là que l’on a à très peu près
CA CRT CG que (i—:1)est assez petit pour qu'on puisse en négliger le carré; ül suit de là que l’on à, aux termes en (4 — r) près,
— 4 Jp É —"2,
