D IA

angle qui décroitra très lentement.

L'équation (5) devient ainsi, en négligeant seulement les termes de l’ordre (4 — 1}, HÆ(1+ 2)

V2— Hu 7? — L(2— 1) cos2À ] =

1 + —————— cos2 À 2(1+ 1)

Si l’on désigne par x, y les coordonnées de l’un ou l’autre des pôles

5 P parallèles à Ox, Oy, par 2R la distance des pôles, on déduit de cette dernière formule

2 LE LD LL ONE 9 æ[1+ TE rJ |: Les [= Cp)

On voit ainsi que chaque pôle devrait décrire une petite ellipse, d’une faible excentricité, sur la surface de la Terre, lentement et d’un mouvement uniforme rétrograde. Mais, comme les observations les plus précises n’ont pas accusé de déplacement semblable, on doit conclure que H — o et que les causes du mouvement initial ont disparu depuis longtemps.

Ainsi, sans l’action combinée du Soleil et de la Lune, le sphéroïde terrestre, en raison de sa non-sphéricité, tournerait autour de son plus petit axe d'inertie. Mais, cette cause perturbatrice ayant une faible intensité et étant périodique, les déplacements, par rapport à cet axe, éprouvés par l’axe instantané de rotation sont très faibles et la vitesse angulaire ne subit que des variations très petites et périodiques.

160. Du mouvement de la Terre en ayant égard à l’attraction du Soleil et de la Lune. — Nous devrons tenir compte de la variation de position qu’éprouve l’écliptique résultant de la réduction séculaire de son obliquité, déplacement qui est actuellement de 48” et qui s’effectue cent fois plus lentement que le déplacement déjà si lent de la précession. Ges déplacements sont périodiques; mais, en raison de leur extrême lenteur, on peut, sans grande erreur et pour une très longue durée, les considérer comme s’effectuant d’un mouvement uniforme ou, avec une plus grande approximation, d’un mouvement uniformément varié. Nos observations sont d’ailleurs trop incomplètes pour fixer la longueur de la période, et nous ne pouvons que préciser les valeurs numériques des coefficients des premiers termes du développement suivant les puissances ascendantes du temps, approximation qui est très suffisante pour une période de onze à douze siècles.

Nous prendrons pour plan XOY le plan de l’écliptique relatif à une époque antérieure déterminée, qui sera pour nous l’origine du temps, et nous mesurerons la longitude à partir de léquinoxe du printemps correspondant et par laquelle nous ferons passer l'axe OX.

Soient ( fig. 21)

dÿ dy Æ LX=—7n= sinÛ cn les composantes suivant Oy et On de la rotation

instantanée ;

MC, My, A, les moments des forces perturbatrices par rapport à O7, On, Oz;

n la vitesse angulaire moyenne de la Terre autour de l’axe principal Oz, qui ne diffère de r et de la rotation instantanée que de quantités très petites de l’ordre de at, 2, ., p, q, x, n, dont nous négligerons les produits et les secondes puissances.

On a, par la composition des rotations,

P=YCOS? +nsinv,

q = n COSY

x Sinv,

et, pour les moments des quantités de mouvement par rapport à Ox, 0 y, Ap = A(y cosy? +nsine),

Bg=—=B(n cosy — ysino).

Les moments pareils, relatifs à Oy, On, sont, par suite,

Ap coso — Bgsins — } - NT (nsin2ç + ycos2y),

AB er M (XSIN29 — n cos2y).

Apsiny + Bgcose —

Il est évident que les axes mobiles Oz, Oy, qui entrainent avec eux

TL fee da dy O7, ne se déplacent qu'en vertu des rotations — = —% et — + autour de Oz; mais cette dernière se décompose en deux autres, l’une, dy: : dy 7, sn0 =», et l’autre, — 7 cos8, autour de Oz; il ne faut pas perdre de vue que ces différentes rotations sont de l’ordre de p et g.

D'autre part, le moment total des quantités de mouvement par rap-

port à O, représenté par la droite OP ('), ne différant en grandeur de

(1) Voir, à ce sujet, les n° 56 et 104 de la seconde Partie de notre Traité de Mécanique générale, t.1. Il nous parait utile de rappeler que linclinaison de l’écliptique vraie sur l'équateur est actuellement de 23°27' 10”.

Cret en direction de Oz que de quantités du même ordre, la vitesse d'entrainement du point P aura pour composantes Cnn, suivant Oy, — Cry, » On.

On a donc, en exprimant que la vitesse absolue du point P estimée suivant O7, On est égale au moment des forces extérieures, estimé de la même manière,

dI A+B vA —B : j jt STE (n Sin2v + y Ccos2v)

C7rn = HT),

dt 2 de A DU AL ! her : (x Sin29 + ncos2vp)| — Cry — M.

Or, n et y étant indépendants de l’angle o, on peut supprimer les termes en sinus et cosinus de 29 qui n'introduiraient dans le déplacement de l’axe terrestre Oz que des termes dont la périodicité serait journalière et dont l’observation n’a pas constaté l’existence. Il résulte de là que la différence À — B est très petite ou que la Terre (qui, d’après les mesures géodésiques, est à fort peu près un solide de révolution) est composée d'éléments matériels distribués sensiblement d’une manière uniforme autour de Oz.

A+B ne :

En appelant A’la moyenne —— des moments principaux d'inertie

relatifs à l'équateur, nous avons donc

dy - e A' “rh Crn =,

AU “ — CNY = ON.

Les mouvements déterminés par les rotations y et n étant très lents relativement à la rotation moyenne » autour de Oz, les dérivées de à sont très petites par rapport à », n, 7, et nous pouvons dès lors écrire simplement

JT: JT.

Telles sont les équations dont nous ferons usage dans la question qui nous occupe.

161. De l’action du Soleil. — Les formules (3) du n° 55 nous donnent, en remarquant que nous admettons ici que le sens positif des

moments est de la droite vers la gauche,

Mz= 3m me JAN 3m D

dans ces expressions, » représente la masse du Soleil, æ, y, z ses coor-

données par rapport à Ox, Oy, Oz, eta sa distance moyenne à la Terre. Soient (fig. 22)

Fig. 22.

Ecliptique vraie.

Orbite lunaire

n' la vitesse angulaire moyenne du Soleil autour de la Terre;

x’, y les coordonnées du Soleil parallèles à Oy, On;

h le rapport de la masse de la Terre à celle du Soleil;

ya le cercle déterminé par l'équateur dans la sphère d’un rayon égal à l'unité dont le centre est celui de la Terre;

MOUVEMENT DES CORPS CÉLESTES AUTOUR DE LEUR CENTRE DE GRAVITÉ. 385 O7 la trace du plan de l’écliptique fixe sur Le plan 320, et yn’ le cercle déterminé par ce plan dans la sphère ci-dessus, cercle sur lequel nous marquerons par la lettre X l’équinoxe du printemps correspondant; 'S l’écliptique vraie coupant le cercle précédent au point N; 1 — — NX la longitude du rœud ascendant N mesurée à partir de l’origine X; A = XP la longitude du Soleil ; i linclinaison de l’écliptique vraie sur l’écliptique fixe; 4 l'arc y X.

Ces deux derniers angles, qui ne dépendent que du déplacement de l’écliptique, restent très petits, et l’on peut, par suite, négliger leur produit et leurs secondes puissances.

Nous avons, d’après le n° 6,

par suite,

De AL = 18 ADI DEV ts = ès

Are Cx NH

Nous avons aussi My = Jxcosp—M,siny, æ—x'cosy + y'siny, Mn = Mzsinp FIL, cosy», y =7" cosy? — z'siny. En faisant abstraction des termes périodiques en sin 29 et cos2o pour des motifs déjà connus, on déduit des formules précédentes

SLR CAL ; y 2), de. - = Ai /) a? Ê [+ h a?