by A—B
En raison de la petitesse des rapports FE, ok leur produit peut être négligé, et celle des équations du mouvement de la Lune, autour de son centre de gravité, qui se rapporte à Oz, se réduit à
dr LOIR AB EANE:
dé NT NU en À
Si l’on néglige le carré de 0 ou que l’on suppose cosô = 1, r n’a pour effet que de déplacer Ox dans le plan de l'équateur (n° 157). Or la vitesse relative de Ox par rapport à OT’ dans le sens direct est
— —; la vitesse de OT’ est la dérivée par rapport au temps de la longidt
tude de la Terre par rapport à la Lune, mesurée à partir de l’origine X
censée fixe en raison de l'extrême lenteur des déplacements de l’écli-
ptique. Cette longitude est de la forme (Chap. I et Il) nt+ EHsin(at + al),
le signe È comprenant une somme de termes périodiques dont les uns dépendent uniquement des éléments du mouvement elliptique et les autres de leurs variations dues aux forces perturbatrices, dont la principale est l’attraction solaire.
Il vient done
de l ; P=— TL + 2 Diet + 2Hsin(at + a')], RS Re 2 Ha? sin(at l Hire et ie
etenfin, en ayant égard à l’équation écrite plus haut,
2 D— (2) Re > = SHa sin(at + a!).
din C C
Si l’on fait d’abord abstraction de l’excentricité de l’orbite ou des H,
MOUVEMENT DES CORPS CÉLESTES AUTOUR DE LEUR CENTRE DE GRAVITÉ. 4o5
l’intégrale de cette équation est, en désignant par K, # deux constantes
arbitraires, ce — K sin y t +k].
Pour que « ne croisse pas avec le temps, il faut que B soit plus grand que À, ce qui est conforme à nos inductions premières sur la disposition des trois axes principaux d'inertie de la Lune. Les observations les plus précises n’indiquant aucune trace de ce mouvement oscillatoire, la constante K, dépendant de l’état initial du mouvement, ou était nulle à l’origine, ou son influence est depuis longtemps annulée par des causes étrangères. Si ces oscillations existaient, leur durée serait
£ nois lunaire / ne —1/ -—— —— = 1 moi EX 37 — SAV ErEerS CAVETHETS En admettant, comme nous le verrons ci-après, CN — 0700001 on trouve que cette durée serait de 24,3r mois lunaires. Si l’on pose cz —Lsin(at + a), L étant une constante, on fera disparaître le terme en H du second membre de l’équation (2) en prenant
Ha?
BA x 3n G
La différence entre les déplacements angulaires dans la rotation et la révolution autour de la Terre sera, en laissant de côté les termes qui
dépendent de l’état initial, B — A 3 n°? — —:+2Hsin(at + a )= 2 sin(at+ a").
De tous les termes dont se compose ZH sin(at + a’), il n’y a de sensibles que ceux qui dépendent de l'équation du centre et de l'équation annuelle due à l’action perturbatrice du Soleil.
Bouvard et Nicollet ont trouvé, par la comparaison de 174 observations de la libration de la Lune en longitude, que la libration due à l'équation annuelle a pour valeur
L = 4'49",7, et, comme H=666%7, 00 17.0,0748,
l'équation (a) donne
te — 0,000964.
Mais ces observations n’offrent pas une garantie d'exactitude suffisante pour que la valeur numérique ci-dessus présente la même certitude
CN : ns que celle de —,> que nous donnerons plus loin. La différence entre la rotation de la Lune et sa vitesse angulaire de révolution est
de x !
Dore SaH cos(at + a!)
=-Kr/ 0 cos (/ TE ( F4) e>a(H"TL)cos(at ra),
et, comme elle est périodique, les deux mouvements moyens seront éternellement égaux. Il n’est pas nécessaire que ces mouvements aient été égaux à l’origine, 1l suffit que la rotation de la Lune ait été com-
prise entre è 3(B— A) | 3(B — A) a—Kn /3ŒB—A) et a+Kr LEP C C limites, à la vérité, assez restreintes, à cause de la petitesse de K, mais suffisantes pour faire disparaitre l’invraisemblance d’une égalité parfaite des deux mouvements moyens à l’origine.
174. Du mouvement de l’équateur et de la variation de son inclinaison. — Les équations du mouvement rotatoire de la Lune, qui se rapportent aux axes Ox, Oy, sont, en y faisant r = 7,
le 1 + (A— C)np —=3n (A — C)}csin[(n+a)t+c—7y]+0sin(p+e) i
en se rappelant que 9, — o et en ayant égard à la valeur (1).
Soient (fig. 23) P et P, les pôles de l’écliptique et de la Lune, supposés à l'unité de distance du centre O. L’arc de grand cercle PP, peut être considéré comme rectiligne, parallèle à l'équateur et perpendicu-
SN I laire à Op: si l’on désigne par s, s' ses projections sur Ox, Oy, les dé- Î ) ®,
rivées ©, À
ACT point P dans son mouvement relatif par rapport à la Lune. Or la vitesse d'entrainement de ce point, considéré comme invariablement lié à la Lune, à pour projections sur Ox, 0y
seront les composantes correspondantes de la vitesse du
— ns" +q, ns —p,
et, comme le déplacement de P ou de l’écliptique dans l’espace est extrêmement lent, on peut négliger la vitesse absolue de ce point devant ns, ns’, p, q et écrire simplement
ds ds' DS nr = SEP, d’où !
(a) P= +R, q—=— PARLE
ou, portant ces valeurs dans les équations (3), on obtient les suivantes :
dis! B — C\ ds ,0—B ; (4) HR DEEE or OL A ii { ds A— C\ ds’ 7 U.
me =" (: murs Jr "B (4) 20
—— 3n° E A ee lo tsinte-te
Si nous remarquons que PP, —9, nous avons
(5) s——06sing, s'——06 cosy,
par suite | Bsin(o-+e)——scose —s'sine —— 5,
en ayant égard à la petitesse de e.
L’équation (4') devient
ÉANEE)-s
| = 07 tsinf(n+a)t+c].
En désignant par W, W' deux constantes, les équations (4) et (4”) seront satisfaites en posant
(s=Wsinf(r+e)t+c] | s'—=W'cos[(r +a)t+c],
ces constantes étant déterminées par les relations
— (na) W'+ n(a+a)(r+ 2) W ÈS W'=0, — (n+a} W—+n(n+a) (: | ‘ <)w De : Eyes an De la première on déduit, en négligeant &? et le produit de « par ee
3 nt S ee 4 Phares B 2 NA Nous avons donc 6sino = — Wsin[(nr +oa)t+c], 8 cosy = W(— :) cos[(z +a){+ cl], (8) = wi cos[(n + a)t +0] É (2 (9) tange = (14 À) tangt(n + a)e+ co].
L’inclinaison 0 de l’orbite lunaire sur l’écliptique n’éprouverait donc
qu'un très petit mouvement oscillatoire, dont la période serait très peu différente d’un mois lunaire et qui échappe à l'observation. La formule (7) donne, en y faisant W — — 9,
CASE T0 Sd ET
Les observations les plus précises ont donné
