EU DUC MES 1 AB IV ES

et en désignant par P et I-deux constantes arbitraires. Nous avons ainsi, en vertu des équations (x),

Rss — ns — —Pycos({t +1),

ls!

nr —Psin({t+1);

d’où l’on déduit

s—Py;({j+n)sin({ +1) + P'sin(at+ 1), s'—P (nj +1) cos(lt + I) + P'cos(nt + I’),

en désignant par P’ et |’ deux nouvelles constantes arbitraires et rem-

plaçant simplement par P.

DAME Pre JO D

Pour avoir les valeurs complètes de s et s’, il faudrait ajouter à ces expressions les intégrales particulières (6); mais, comme, d’après l’observation, o est sensiblement égal à (7 + %)4, il s'ensuit que les arbitraires P et P’ sont très petites ou insensibles.

Ainsi se trouve vérifié, pour la Lune comme pour la Terre, le principe posé au n° 130 et qui doit naturellement s'étendre à tous les corps célestes.

S LIL. — Duo MOUVEMENT DES ANNEAUX DE SATURNE AUTOUR DE LEUR CENTRE DE GRAVITÉ.

175. Nous avons vu, en traitant de la figure des anneaux de Saturne (n° 111 et112), que chacun d’eux est un solide dont le centre de figure coïncide à peu près avec celui de la planète, mais dont le centre de gravité doit se trouver en un point différent. Ce centre tournant autour de Saturne dans le même temps que l’anneau, l'anneau tourne

autour de son centre de gravité dans le même temps qu’autour de la planète.

Nous allons chercher à déterminer la cause en vertu de laquelle les anneaux se maintiennent constamment dans le même plan, malgré l’action des satellites et du Soleil, action qui doit produire sur eux des mouvements de précession différents de l’un à l’autre et qui ont, par suite, pour tendance de faire sortir les anneaux de leur plan.

Nous supposerons d’abord que l'anneau total se réduit à une circonférence matérielle dont le centre diffère très peu du centre de gravité de Saturne, et dont le plan fait un petit angle avec l’équateur de cette planète.

Soient (/£g. 24)

O le centre de l'anneau ;

C celui de Saturne;

C’ la projection de C sur le plan de l'anneau ;

G le centre de gravité de l’anneau ;

Gæ la parallèle, menée en ce point, à la trace de l'équateur de Saturne sur le plan de l'anneau;

Gy la perpendiculaire à cette droite dans le plan de l'anneau, laquelle perpendiculaire est parallèle à OC;

Cz, l’axe de rotation de Saturne ;

Gz la perpendiculaire en G au plan de l'anneau;

0 l'angle très petit formé par Gz et Gz, ou par les plans de l’anneau et de l’équateur de Saturne ;

a, b, c les coordonnées de C parallèles à Gx, Gy, Gz;

« la distance OC’;

m la masse d’une molécule de l'anneau ;

æ, Y, = Ses coordonnées ;

« la distance Cm;

u le cosinus de l’angle qu’elle forme avec Cz, ;

R le rayon de l’anneau, le rayon moyen de Saturne étant pris pour unité.

Nous prendrons également la masse de Saturne pour unité, et nous négligerons les termes du second ordre en 6, cet «.

Si, comme 1l est naturel de le supposer, on admet pour Saturne l’état de fluidité primitif et la forme d’équilibre correspondante, et si l’on a égard à la rotation dont il est animé, le potentiel de l’attraction qu'il exerce sur 7» sera (n° 104)

a CIE

en désignant par E l’aplatissement et par v’ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur relatif à l'équateur. Quand même on rejetterait notre

hypothèse, on pourrait toujours, pour une valeur un peu grande de v,

admettre cette formule; car les coefficients de — dans l’expression

précédente et dans le développement général du potentiel du sphéroïde ne différeront (n° 71 et suiv.) que de termes en sin2vw et cos25 qui n'auront aucune influence sur le déplacement de l’anneau ; en effet, ces termes ne donneront lieu, dans l'attraction sur l'anneau, qu’à d’autres termes dépendant de la rotation relativement très rapide de la planète sur elle-même, que l'intégration rendrait très petits; de plus, l’observation n’accuse aucun déplacement correspondant aux termes de cette nature.

Le cosinus de l’angle z,Cm», étant nul avec 9 et ce, est du même ordre de grandeur que ces quantités; il est donc permis d’en négliger le carré et de supposer « = R dans les coefficients qui affectent sa première puissance. La composante de l'attraction de la planète sur 2, estimée suivant Cm, se réduit ainsi à

et, au degré d’approximation convenu, elle a elle-même pour composantes

(HER I 3) 3 - = | is = > suivant C'n, ve Ù (ot [ as ; I + UE suivant G3 CES PR = à RiX [FE R° Ë

La composante de l’attraction de Saturne suivant la méridienne de cette planète, ou

A mr À HA 2e (E nu r) VE Et 1e Rr ?

donnera, en la changeant de signe, une composante égale suivant Gz, ou Gz, et une composante du second ordre ou négligeable parallèlement au plan de l’anneau. Il résulte de là que les composantes de l’attraction exercée par Saturne sur 7x suivant Gx, Gy, Gz sont, en tenant maintenant compte de la masse de cette molécule,

Et 2 m 2 }æ—a X = — : Ê=, : = = 9 © t / ce ( FU m 2 y —b Ve— = 1=} : É , t te tv IN ge te Ne ; 2 ml o' m E SIC 2 r (E es NEC 5 ee.

R 2 R? Hè R

Il est inutile d’avoir égard au second terme de Z, qui donnerait, pour

toutes les molécules de l'anneau, une résultante passant par son centre de gravité, sans influence par suite sur le mouvement de rotation de l'anneau.

En égalant deux expressions de la projection de Cm sur Oz,,ona

ur = —cCos0 —(b—y)sinô—=—c—(b—7Yy)0, d’où CH Ey)d

be — Tee à)

et, en continuant à négliger dans Z les termes constants,

Nous avons ainsi, pour les moments par rapport à Ox et Oy de l’attraction de Saturne sur l'anneau,

Té O7 —— 2 g ,2 MO 2) — FF ( = L)o8m) 2 à 2 o! L NY STE Re (En £)0Smxy,

le symbole S se rapportant à la somme de toutes les masses élémentaires de l’anneau.

Soient maintenant x’, y’ les coordonnées de 77 parallèles aux axes principaux Gx’, Gy’ de l’anneau menés par son centre de gravité; A, B les moments d'inertie correspondants ; o l'angle x Gx.

On a A=Smy?, B=Sr re æ —æx'cosp—y'sing, y—=æx'sins + y'cose, Smy® — Acos?y + B sin?o, Smæxy —=(B—A)sinycosy; par suite, Mx = 2 (E- ) (A cos? o + B sin°+)06,

(E- )cB— 1) siny COS®.

Enfin, si l’on remarque que les moments de l'attraction de Saturne par rapport à Gx’, Gy’ ont pour expressions

Hz = Az COS? + M, sinyp, JM, = AM, cos? — M, siny,

on trouve ai E-£ Mo = — A6 cosy, (2) ; rs JE — er BO sine \ db R° es

Le moment M:—=S(Yz—X7y)

de l’attraction par rapport à Oz étant indépendant de l'orientation des axes Ox, O y, supposons momentanément que ces axes coïncident avec Ox’', Oy'; nous aurons