A20 CHAPITRE VIII. — MOUVEMENT DES CORPS CÉLESTES, ETC

«€ Un anneau pouvant être considéré comme une réunion de satellites, on conçoit que l’action de Saturne, qui maintient ses divers anneaux dans le plan de son équateur, doit, par la même raison, maintenir dans le même plan les orbites de ses satellites situés primitivement dans ce plan. Réciproquement, si les divers'satellites d’une planète se meuvent dans un même plan fort incliné sur celui de son orbite, on peut en conclure qu'ils y sont maintenus par l’action de son équateur et qu’ainsi cette planète a un mouvement de rotation à peu près perpendiculaire au plan des orbites de ces satellites. On peut done affirner que la planète Uranus, dont les satellites se meuvent dans un plan presque perpendiculaire à l’éclhiptique, tourne elle-mème autour d’un axe très peu incliné sur l’écliptique.

» Les termes de l’expression de 0 qui dépendent de l’action du Soleil et du dernier satellite de Saturne étant insensibles et les dimensions de l’anneau n’entrant point dans les autres termes, 1l est clair que, si plusieurs anneaux sont attachés ensemble et se meuventà peu près dans le plan de l'équateur de Saturne, l'action du Soleil et du dernier satellite ne les en écartera pas sensiblement. Ainsi le résultat obtenu pour un anneau, en faisant abstraction de sa largeur, a également lieu pour un anneau d’une largeur quelconque. La seule partie de 9 qui puisse être sensible dépendant de constantes arbitraires, et étant indépendante de la position de l’équateur de Saturne, relativement à son orbite et à celle de son dernier satellite, il en résulte que cet équateur, dans le mouvement très lent que l’action du Soleil et de ce satellite lui imprime, emporte avec lui les plans de ces anneaux et des orbites des satellites situés primitivement dans ce plan. C’est ainsi que nous avons vu que le plan de l’écliptique, dans sou mouvement séculaire, entraîne les plans de l'équateur et de l'orbite lunaire, de manière à rendre constante l’inelinaison mutuelle. de ces trois plans et la coincidence de leurs intersections. »

DE LA CHALEUR TERRESTRE

177. Rappel de quelques-uns des résultats auxquels conduit la théorie du mouvement varié de la chaleur dans une sphère homogène ('). — Nous supposerons que, à une certaine époque prise pour origine du temps, la répartition de la température dans la sphère a eu lieu suivant une loi donnée, et que celle du milieu ambiant dépend de la position des points de la surface du volume.

Soient

a le rayon de la sphère; r, 6, & les coordonnées polaires de l’un de ses points 7x; V la température en ce point au bout du temps #.

Cette température se compose de deux parties, l’une qui dépend uniquement de la température du milieu dans lequel la sphère se trouve placée, l’autre qui en est indépendante et qui ne résulte que de la manière dont la chaleur a été primitivement distribuée dans la sphère. Cette seconde partie est la même que si la sphère était placée dans un milieu dont la température est constante; et comme c’est la seule qui nous intéresse, c’est son excès sur la constante que V représentera dans ce qui suit, et que nous appellerons simplement la température de 7».

Si le temps £ était suffisamment grand, la sphère serait arrivée ? l’état d'équilibre de température; mais, avant d'atteindre cet état final, elle a dû passer par un dernier état de mouvement de la chaleur, le seul dont nous ayons à nous occuper.

(1) Voir notamment notre Ouvrage intitulé Phys'que mathématique

En supposant que le rayon de la sphère soit très grand, on à

(1) V=Gsinrs(i— À) ét (QU

formule dans laquelle G représente une constante qui dépend de la répartition Initiale de la chaleur dans la sphère; y une constante qui dépend de la nature de la sphère et de celle du milieu; À une troisième

constante de la forme À — LK = (ï — “)| K étant ce que l’on appelle «a

(42 le coefficient de conducubilité intérieure de la matière dont la sphère est formée.

178. De la chaleur centrale de la Terre. — L'augmentation de température observée à mesure que l’on pénètre dans l’intérieur de l'écorce terrestre, et qui est de 1° pour 33" de profondeur, semble indiquer que notre globe n’est pas arrivé à son état final de température. : On est ainsi conduit à admettre que la chaleur propre de la Terre est arrivée à son dernier état de mouvement.

Quoique la densité des couches dont la Terre est formée aille en augmentant de la surface au centre, nous supposerons qu’elles ont toutes le même pouvoir émissif et la même capacité calorifique, c’està-dire que la constante K ne varie pas d’une couche à l’autre. Nous pourrons alors faire ici l'application de la formule (1). Nous choisirons pour origine du temps l’époque actuelle, en considérant £ comme négatif ou positif selon qu'il s'agira de temps passé ou à venir, et de plus le siècle pour unité de temps.

Nous avons trouvé, par la comparaison de la formule (1) avec les résultats de l'observation de la température à la surface de la Terre et dans les profondeurs que l’on a pu atteindre jusqu'ici,

1 (y UE 2e e/ : = 0170 (2) \ 7: »1/94%; 11445 h — 13 TO

(1) Formule (30) de la page 153 de l’Ouvrage mentionné dans la Note précédente, où z a été remplacé par p.

DE LA CHALEUR TERRESTRE. 423

En se rappelant que &« — 6366198", on déduit de la seconde de ces formules

179. Diminution de la durée du jour due au refroidissement de la Terre. — Soient, à l’origine du temps,

n la vitesse angulaire de la Terre autour de son axe; r la distance du centre de la Terre à un point déterminé de sa masse; e la densité en ce point.

Nous admettrons que le coefficient de dilatation cubique a la même valeur & pour toutes couches sphériques dont la Terre est censée composée, et nous pourrons le regarder comme étant sensiblement constant pour les faibles variations de température que nous avons à considérer.

Si nous désignons par dM la masse de la couche limitée par les rayons r'etr + dr, le moment de rotation de la Terre aura pour expression

> Jr°dM

et doit rester constant lorsque la température subit, avec le temps, la variation SV que nous supposerons assez petite, de même que les variations correspondantes dx, àr de » et r, pour que l’on puisse en négliger le carré.

On a ainsi ôn fr? dM+on/frdMôr—0o

ou, en remarquant que dM = 47or° dr,

A 02 l er° dr èr a

J er dr

La condition relative à la variation du volume de ZM avec la tempé-

de e =] | |l

rature donne RE) ET APOM

ou, en remarquant que le premier membre de cette égalité équivaut à d(r° ÿr),

Re = 6 [ ÔV.r72 «dr.

“20 Il vient, par suite, at } 2 ' 21 | ordr [ dV.r? dr ; 07 0 9 ) = — (4 n "0 | ETUI

Si nous admettons l'hypothèse de E. Roche sur la progression de la densité des couches à mesure que l’on s'approche du centre, nous

Ta .

devrons remplacer 4, dans la formule (16) du n° 107, par =; puisque

nous ne prenons plus ici le rayon de la Terre pour unité. En posant

nous aurons p—= poli — Ba?) et

N . 1 ÿ 2 1 æ on 7où < : < ë

(5) = — 5 æ ax [| ÔV.x? dx —8 1 me dx [| Wade ). n pie ANR è Je ve ;

Mais, en intégrant par parties, on à

PR Ne on de SV 2 Jar PONiee JedrpiNr a dr : SSV.&' dx —1/fôV x" dz,

JL dEJ EN rar JON dr ONE a"

par suite, à 1 [l

Re SOLS | ARE IV2 » ST ; SE ere SNJ: 6 à (6) nos LC F) l Ne Pr : | DV.rt dx = | D ME 7 ;