FE AIE
SR CR + 3 [uu'cos(e—v')+uu'ss" — 1u?(1 +s?)]| VIS Ur Es 0 GRTENONTE
5 [uu'cos(o— 6") +uu'ss — Lu?(1 +s?)] (1+s?)u'?
2 (L+ 52 )3 5 NS (res) uà
Comme le rapport des distances moyennes de la Lune et du Soleil à la Terre est seulement 0,002580, soit +, on pourra négliger les termes de l’ordre u°. D'autre part, quoique le plan de l’écliptique vraie ne soit pas fixe, comme il entraine avec lui l'orbite lunaire, l'inclinaison de cette orbite sur le plan reste constante ('). Nous pouvons donc
(1) On peut s'assurer, comme il suit, de l’exactitude de cette assertion.
Supposons que le plan fixe æOy soit celui de l’écliptique correspondant à une époque déterminée, et soient & la longitude du nœud de l'écliptique à l’époque # sur le plan ci-dessus et »’ l’inclinaison de cette écliptique. Nous avons (n° 16)
s'= tang9'sin(#" — x) = tangy’ coszsinv'— tango’ sin x Cosv”'; mais nous savons que (n° 46) p = tango’ sinz = ENsin(ë +4), q = #'co x = EN cos(it +),
formules dans lesquelles les À sont des quantités déterminées qui dépendent de l'attraction des planètes sur la Terre et les N et / des constantes qui dépendent de la position des orbites à une époque donnée.
Nous aurons ainsi, en remplaçant à par — # et / par — L, (a) s'= ENsin(s' + it +/)
Soient 9; la latitude de la Lune au-dessus de l’écliptique vraie et À sa latitude par rapport
prendre le plan de l’écliptique vraie pour plan de x, y et supposer, pareulte=0:
Nous aurons de cette manière, en négligeant les quantités des ordres m'u’s' et mu”,
7 .. MM : | | Q = — - m'u' + — [13 cos2(P — v!') — 25] (2) Vi+s? FE 7-1 { m'ul* ne ; : A | rer [3(1— 4s?) cos(e — 6) + 5 cos3(e — 6')];
à æO7y, en admettant qu’elle se trouve sur l’écliptique vraie. Nous aurons
; {ang + tang 0:
tane de tance ES g N L L 1 — tang À tang hi
ou simplement s = tangh + s;,
en posant 51 — tang, et remarquant que À et 0, sont de petits angles. Mais, en vertu de la formule (a), nous avons
tang À = EN sin(v + à + /):
d’où (b) s—=>ENsin(v+ü+/)+ ss.
On formera facilement l'expression suivante :
ds dQ dQ ,. 4Q I RS et OS er 3m'u ‘ AT UE a , = — || COTES) EC CONS) EETTE u* 2 u 2 «
A ORAN RP CEE $ COS(P — p ) — Sin (v — ne 00)
; ) dv à qui devient, en ayant égard aux valeurs («) et (L),
3m" «8 ’ TR à, ONE ee ; ; ; A = COS) COS pe) Sy COS(0 —p )—-SIn(0 —v)——|].
La troisième des équations (1) donne, par suite,
ds SL ES Sp Eee.
on ei ne 7 Ra — dv? 2 dQ «dv ut (lR2+2 | —= — \ Jury ou ds Bm'uñss
— + S + = ——— do? > l2ut
ET F1 G = OAÿ : Eee 5 1 Si l'on néglige les excentricités et les inclinäisons des orbites, on à u=-; w'=—;) «
d’où, en négligeant aussi les quantités de l’ordre de m'u's:,
dQ s dQ 1 Ho) RER : 1-+ 3 COs2(p — p' du u ds AE #2 O7IS [ ( )], Dm Sue [C3 — 4s?) cos(e — 6!) +5 cos3(v — v!)], (3)
dQ OO OI ne. AC :
ES = 2(ç ro PE 3 Le ls? 1 (EVE 5 gi TEA af PE sin 2 ( ) CPE [3(1-—4s?)sin( 9") +15 sin 3 ( p')] d us m'uès 3murs
Le a er: COS Cv Je | ds e 2 u? u
Avant de chercher à intégrer les équations (1), nous remarquerons que, abstraction faite de l’action du Soleil ou supposant » — 0, et en ayant égard aux valeurs (3), elles se réduiraient aux suivantes, qui ne sont autre chose que celles du mouvement elliptique mises sous une torme particulière :
do du I 2 (4) dd fus dau . dv?
h =yaGi— 2) = ya, et l'équation précédente devient
ds ve. Gr à UE ? == IN si +... = 0.
te do2 2 o8 !
Nous avons (Chap. 1) 2°? = — — 1, en supposant, comme il est permis de le faire,
ai” a:
que le mouvement moyen z de la Lune représente le temps; par suite, (d) Ro dv? c
Si l’on remarque que l’on peut prendre à = &, cette équation donne, en ayant égard à la valeur (à), ds;
a + (it 7 2)ss + ENTr — (à + r)2] sin(o + à + 7) = 0 do
et enfin, pour la partie de s, qui dépend du mouvement séculaire,
. … ZEN(2i+)sin(e + + 7) ((@) M 32 oi À D
Cette quantité est insensible, car # s'élève au plus à 50” par année, et #72», qui est à peu près le mouvement rétrograde du nœud lunaire, dépasse 20°; d’où il suit que À»? est au moins quatre mille fois plus grand que 2 et que, par suite, la partie séculaire (4) de
s1 où le troisième terme de l'équation (4) est insensible.
Il résulte de la première que L représente le double de l’aire déerite dans l’unité de temps par la projection du rayon vecteur sur le plan æ0 y. On déduit de la troisième
(5) s—7ysin(0 — 2), y et « étant deux constantes qui (n° 16) représentent respectivement la tangente de l’inelinaison de l'orbite elliptique et la longitude du nœud ascendant.
En substituant la valeur (5) dans la seconde des équations (4) et effectuant l'intégration (Introduction, n° 23), on trouve
(6) res [V1 + 52 -ecos(e —w)|],
expression dans laquelle e et & sont deux constantes, qui représentent respectivement l’excentricité et la différence entre les longitudes du périhélie et de l’époque; le demi-grand axe de l’ellipse a pour valeur
En négligeant la quatrième puissance de y, qui est la tangente de 5°8'47",0, l’équation (6) devient D'Or ET
RG +Y
(8) u + ri
Lecos(r —m)—1+14?cos2(6 — 2)].
Les valeurs (5) et (6) supposent que l’ellipse lunaire est immobile ; mais nous reconnaîtrons plus loin que, par suite de l’attraction du Soleil, les nœuds et le périgée de l’ellipse sont en mouvement (!}. Si donc
on désigne par (1 — c) le mouvement direct du périgée et par(g —1)e le mouvement rétrograde des nœuds, nous devrons remplacer, dans les équations (5) et (8), « par «à —{(g— 1)e eto par & + (1 — cv, et
(:) Les durées respectives des révolutions de ces deux éléments sont dix-huit ans et neuf ans.
nous aurons ainsi
(51) ts —sint2t 4)
(8') u—= 1+ 5 y +ecos(co—m) — 14? cos2(,76 — x)]. ( hey) 4 | S ( ) y | LUS (2 )]
Si l’on substitue cette dernière valeur de & dans la première des équations (4), on trouve, en négligeant e‘ et y",
de — h° dv | Lee Ey)=relitee ee?) cos(c— 5) 5e cos2(ce — ©) — e? cos3(ce — ©) + LV? cos2(g6 —- a) — + ey [COS (290 cp —2a— 5) + Cos(29r — cp — 2% +) !: d’où 3 6 0) ER) 2k°e 3 t— const. + h°p(1+$ie+3)?) (tes?) sin(ce —-®) & ( DE RER à = rm CRT sing (C0 5x) 4e (9) he 3Rey?
—- sin2(g0 — «) SiN(22P ce —=92a—5) 4 S 4(25+c) or sin (2 @ 24) gr — LL Y — CP — 24 +).
&(28—c) * De la formule (7) on déduit (10) R—a(i—-e—$ +8),
6’ étant une quantité du quatrième ordre eneet +.
Portons cette valeur dans la formule (9) en négligeant e’, e?+, f, tout en conservant le dernier terme qui nous sera utile, en remarquant que nous pouvons supposer C1, g—1 dans les coefficients des sinus; ANENENE ensuite cette formule par la vitesse angulaire
moyenne x — a “et désignons par € une constante; nous obtiendrons
(1) { nt+e—v—2esin(ce—w)+£esin2(ce —5w)
+ 1sin2(20— a) —3e/sin(2sp— ce — 924 +w).
La formule (8') devient, eu égard à la valeur (10),
(12) Hit e te veQte)cos(e— s)— LY? cos 2(gP —x)].
ResaL. — Mécanique céleste. 5=
Nous aurons de même, pour le Soleil, en se souvenant que y = 0, Gr n't+e—6—2esin(cv —m')+#e?sin2(ce — x"), (GE) uw —[1+e?+e(i1+e®)cos(c'e — x")].
L'origine du temps étant arbitraire, nous pouvons supposer & — 0, — 0, et les équations (11) et(11') donnent, par l’élimination de #,
| p'— 2e'sin(cr —m')+ ie ?sin2(c' — 7x!) (a) ‘ —=mrP—2mesin(ce — m) +ime?sin2(ce —w) | +; my sin2(ge — a) —iey sin(2gr —-- cv —2a+w), .
en posant
(b) D Un UT a CE n 364i,256374 3651,256374 13,002861
En appliquant la formule de Lagrange (‘), on déduit de l'équation (a), en observant que c’ est peu différent de l'unité,
{ = ms - ame sin(cr —w) + Ÿ me sin2(ce—5w) ei “2 ç] VS FE 3 2] de) (13) + My SINn2 (gp x) met sIn(22p—= ch 0x PT) | + 2e!(1— Le?) sin(c'me — 7!) — 2mee'sin(ce + c'mv — © — 5) — 2mee'sin(ce — c'me —m +) + ie®sin2(c'me — 5")
et la formule (12°) devient
1 ; (4) De — [r+e(i—{ie?) cos(c'me — m') +e"?cos2(c'me — 5!) TN GS ;
| -- mee'cos(ce — c'mv—7m +mw')— mee'cos(ce + c'me—m—x')].
186. Avant de substituer les expressions de &w, uw’, s, # en fonction de # dans Q et ses dérivées, 1l est utile de bien définir l’ordre de grandeur des différents coefficients qui entrent dans ces expressions.
1° Quantités du premier ordre :
m —0,07690622, e—0,05/490807,. e'—0,016770ot,
y = tang5°8/47"— 0,09007450 ;
(1) Introduction, n° 16.
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA LUNE. 451 2% Quantites du second ordre :
; SO 70 ou nn PE —— 1,099 X 324439 X<
==, ÀQ l 5—=0,002989, m'm PE
Laplace à porté les approximations jusqu'aux inégalités du troisième ordre inclusivement, en ayant égard aux quantités du quatrième ordre.
Nous dépasserions notre but en reproduisant les calculs auxquels s’est livré l'illustre auteur de la Weécanique céleste et pour lesquels nous renverrons au Livre VII de ses OEuvres. Nous nous bornerons à reproduire d’une manière générale les résultats auxquels il est arrivé en ayant égard au degré d’approximation ci-dessus défini.
Il résulte de la formule (12) et du degré d’approximation admis que, dans le mouvement elliptique, la partie de & indépendante de + est de la forme
(19) (1 en 22286),
6 étant une quantité du quatrième ordre en e et y; mais l’action du Soleil altère cette valeur : nous représenterons alors la constante absolue que renferme & par
(15°) Csasener + p°),
a, étant une arbitraire qui, sans l’action du Soleil, serait égale à a; nous aurons alors, au lieu de la formule (10), la suivante :
(10) Ra (1—e— y; +$).
On devra avoir égard à cette valeur dans les termes des équations (1) qui dépendent de l’action du Soleil.
Nous poserons ensuite
—2, 7 A UP nt = HAE EE
Nous représenterons d’une manière générale par A°, BY, ... des coefficients de l’ordre z, en désignant par : l’ordre de grandeur de ces coefficients et par 7, à partir de zéro, leur rang dans les développe-
Fe
ments en series.
Les formules qui suivent résultent de l'introduction des valeurs (12),
(5’), (12’), (13) dans les expressions (3) et de la substitution de ces expressions dans les équations (1). Pour nous conformer aux notations de Laplace, nous représenterons par 6, au lieu de +, la longitude du nœud lunaire.
