PR IN CE

d?z d | es a | Arr

et si l’on différentie de nouveau par rapport àe, en faisant o(z) — /(5)° dans la formule (6),

D EL TGS 3 d df(=) | 4 >

des dx de Ei dx?

ainsi de suite, et en général

dz di 1 : GNU CAES ; A ), dæ.

den — daxm-i 2 AE ; RD TE = Cr e MAIS, pOur € —O0,0N AZ —%, 7 — 1, par suite dr z dr D 2) Le | ( de’! ) = dim et, enfin, le développement (2) de z sera , e? d ; DA 2 et drr-1 f x)" (WE RE NCSA CAES PAPE SE = = KE) te 12 UT D AOE 72 dx!"

REsa, — Mécanique céleste. 5

Proposons-nous maintenant de trouver Le développement d'une fonction quelconque F(£) de la variable z définie par l’équation (1), suivant les puissances ascendantes de e; la formule de Maclaurin donne

Ne ro LE de dk CiE , MÉDENNCEE Roi he (ue JE Ne FAT

mais on à, eu égard à la valeur (4), dE … F'(= ds F'C2) Fe @E de ul de LC 2 d'où, en tenant compte de la relation (6), | PE Sd EME RIT Pe FEler Er : GE PRES | Re Le (=) (5) |

Cette équation conduit de même à la suivante :

; Pr ust PH /GYE |

2 "à Ages et l’on à en général di F Les [l F'( 5 ( cpu ds de’! dx"r-i ù RAR

$ d= dou en remarquant que - = 71 pour € — 0, , dx

dmF\. du | ( de’! ) = den LEFCRS TnEIe Il vient done, pour le développement cherché,

ET NP D MR AT PR e't CRIE Lie RS (8) F(S) = FEZY PET RUT) + 5 ee. eme (HARIE IA EST

17. Sur le développement en série trigonométrique de la fonction

(ab aatcoso CLP)

Nous désignerons par E la base du système logarithmique népérien,

et nous poserons

comme nous avons

il vient (a? — 2 aa! cos8 + «)°— 44 A) =}

Puisque cette fonction estsymétrique en a et a’, où peutadmettre que a 5 SRE De PORT DT SR : x EURE 7 =2est plus petit que l'unité, car si a’ était inférieur à à, il suffirait de faire permuter entre elles les lettres & et &. Chacun des deux der-

niers facteurs de l'expression précédente est alors développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, et nous

avons QT TE Qi dt) NT VAE VERLE pe Eten > de is en posant J(Y = 7) (+ i1)( +2) 11 — =) V3 — qe er 1) 1.2 ES)

Silontemarquequesytr.ibvient

(it — 28) ( — ay) = 1 +av(8 Hy)+ r[m(B+ St) +]

+ a [va (855) + (8 +y)]

ue 4" [v, (8? E cé) ne Ve E VS (02 te je

comme on à en général Bi + yi— 2 cos 60,

le produit ci-dessus, par suite la fonction proposée, s'exprimera par une série de termes proportionnels aux cosinus des multiples suecessifs de 9, et si nous posons

MP nie (leva vrar via. ),

| P,—0a {y RUE ET \ id (Or SES EE ERERREEOE

| PS3 a (Mia ENS EE Na),

nous aurons, pour le développement cherché,

e (b) (a'?— 2 aa! cos8 + &) = P,+ P, cos0 + P, cos 20 +... > Pcosre.

Il suffit de calculer directement les coefficients P, et P, au moyen des formules (a), car les autres P; peuvent s’en déduire successivement. En effet, si l’on différentie l'équation (b) par rapport à 9, on trouve

2aa'vsin6(a?— 2aa cost + a?)=(a"?— 2aa'cos0 + AD) cP;sin 0

où 2 aa! y Sin o\ P;cos 10 = (a'?— 2 aa! cos + AD tP;sinc0

ou encore

aa \ P;fsin(i+1)0— sin(i—1)0] Led

= (a? + DD i P;sin é0 — aa Y iP;[sin(i+1)0+sin(i—r)60].

Si l’on identifie Les coefficients de sin(r — 1)9 dans les deux membres de cette équation, on trouve

(é—1)(at+ me) P;,—(i+v—o0)aa P;,

(i—v)aa É formule au moyen de laquelle on calculera le coefficient P; au moyen des deux précédents et, par suite, tous les coefficients P,, P,, ... de proche en proche, lorsqu'on connaitra P, et P,. Elle serait en défaut, en particulier du moins, si y était un nombre entier positif; mais, comme ce cas ne se présentera pas dans les questions que nous avons à étudier, nous ne nous en oceuperons pas.

18. Représentons par Q ce que devient P, lorsqu'on remplace v par ÿ + 1, Où posons

(a? — 9 aa! c0s 0 + a? )= 6H) =Ÿ Q;cosr0.

Au lieu de calculer directement les coefficients Q, on peut les déduire des coefficients P si ces derniers sont connus. En effet, en multipliant l'égalité précédente par €

(a?— 2aa'cos0 + a?)

et ayant égard à l’équation (b), on trouve

œo Fe a En :

ÿ P,cost0— (a? = aa! cosû = a°) D Q, cost 0 0 — (ar + AD Q; cos 10 — TD) Qi[cos(e +1) 0 + cos(i —1)0]; 0 0

d’où, en identifiant de part et d'autre les coefficients de cost6, P;=(a?+a)Q;—aa'Q;;,— aa'Q,,;;

mais de l’équation (c) on tire, en y changeantient+r,venv+ret P en Q, (a+ a)Q;—(i+v)aaQ; ;

et l’on a, par suite, 2vaa'Q;

En (a? pe a?) Q;

P; RE — NY et de même PP. — 2vaa' Q;—v(a?+ a) Qi:

ie eme

Si, par la méthode des coefficients indéterminés, on élimine Q;, et Q;., entre les trois dernières des équations que nous venons d'établir, on trouve

VE rie

__ (T+v)(at+a)P;—a(:

Si, dans cette expression, on remplace P;,, par sa valeur déduite de l'équation (c), elle prend la forme suivante :

(—i)(at+a)P,+o(i+v—r)aa P;., (e) Qu à mr ee a}? e %

19. Les dérivées successives par rapport à a de la fonction P; peuvent s’exprimer au moyen de fonctions de cette nature. En effet, en différentiant l'équation (b) par rapport à a, on trouve

\ dP, — av(a— a! cos0) (a? — 2aa! cosû + a2)-P+0 — \ re Ze Ù ou (a?— 9 aa'cos8 + ae) — (a"?— a?) (a"?— 9 aa"cos8 + a?) CL

z a N\ dP; :

= — — cos c0, (6

ou encore

X : À ' a N° dP, , Ÿ Pi cos it — (a me) Ÿ Qu cosi6 = — Ÿ - cos £0 0 (]

Sy da

et, en identifiant les termes semblables,

dpi (re 09" y I - 07

Enfin, si dans cette équation on remplace Q; par sa valeur (d) ou (e), il vient

ñ) dp; RARE NL) re p DUTEEN +R

( Si mem

À da a(a?— &) ; PIRE age dpP,; NA Lit e ) s DT EU) CL :

(#) = PE — Pi lit RATS (12) TEE

à : PP; RS , ; ’ | On obtiendra —— en différentiant l'équation (g) par rapport à a et da?

à GARE he PR remplaçant, dans Le résultat obtenu, —+, — par leurs valeurs dé- “ da da : à ; è UE ; &P; duites de [a même équation, et ainsi de suite pour PAU CE

20. Comme a et a’ doivent entrer de la même manière dans la fonc- {ion P;, cette fonction est homogène en a et a! et du degré 2v, et

l’on à

(A) do 5)?

: ne RAR ee Le, PP, d’où l’on déduira ==, et par des différentiations successives, ="; da dada dP

=, da’?

21. Sur deux cas particuliers dans lesquels on peut donner une forme trigonométrique à l’intégrale de l’équation

CLSVAETI UV ie ; ete es 1 (/a 0 0 da " x f. SE

dans laquelle /2 et y sont deux quantités réelles, — En substituant dans cette équation lexpression

V—=UuSINnyr + rCoSgE,

où u ete sont deux fonctions inconnues de x, et égalant à zéro les coefficients des termes sin gx et cos gx du résultat obtenu, nous obtien-

drons du dv mu 2 —0O | dx? Tax Le d (2) > = | dv du mn a 24 — da> Ge x?

dans lesquelles N, P, Q sont des constantes. En identifiant Les termes

ES pi 7?

(1) Dans le cas où #2 < + et en posant # = + + V4 — 1x, 3 = ux*, on est ramené à l’équation

du 24 du à

— +—— +qu—=0o

de x de 1 ?

que l’on sait indiquer par séries où au moyen d’intégrales définies.

4o INTRODUCTION.

semblables dans Les résultats obtenus, on arrive aux relations

P(6+m)=0o, 290 EmN=oc; 207 rQ=L;,

dont la première exige que l’on ait 6 +72 — 0 où P —o. Nous avons donc deux cas à distinguer :

1° En supposant m — — 6, nous avons N 3N Q = , P = — = ; (1 q

. D 3N A (1— }> (DEEE ga, qa

Mais, sinous remarquons que, d’après les équations (2), les fonetions « ete ne différent l’une de l’autre que par le changement de signe de g, nous aurons aussi, en désignant par N’ une constante arbitraire, cette autre solution

k : EN à 31 3N = N\1 — } U—= — à

d'où 1} suit que

mn o

nl - MAMA + N | ( I ) cos ya re singe |

est l'intégrale complète de l'équation

| 0 à o $ | MEN 1 — —— | singæ + -— COS qæ

dy 6 y Le ——— — — + y =o.

dx? x? 1e

(te)

2° Admettons maintenant que 72 soit différent de — 6, nous avons

EG), Vin = 5 CE

, q et l’on voit facilement que

PÈRE I i / (4!) HAN (sin JE + — COS + ) IN (cos qx — Ie sin ns) 4x ; 2

est l'intégrale complète de l'équation

22. Solution trigonométrique de l’équation tang y — 77 tang x, dans laquelle 7? est une constante donnée. — En ayant recours aux imaginaires, on déduit successivement de cette équation, en dési-

gnant par e la base de logarithmes népériens et en posant ? —4ÿ— 7,

CIN ei 02 e=ix RE = JL = — =

(a) Cr nt Te nr

CNET EE

Nous avons maintenant deux cas à distinguer : 1° m<1. — Nous pouvons poser » — coso, et l’équation (a) devient

1 + e?ix tang? +

e2iy — e?ix €

1 + e2it tang? +

et, en prenant les logarithmes,

fe log ( ei tano? 2) Ê > à 2

== À + 1 loc: —2ix f on “ = 2p 02 Me ang =

Si l’on développe en série les logarithmes de cette expression et que l’on substitue aux imaginaires leurs équivalentes en lignes trigonométriques, on trouve

o . RO à (9) Y—=7—tang? 2 sin 2x + ttang'<sin 4x — {tango sin 6x7 +...;

et en suivant la même marche

2° m>>1.— En posant m —