HP CONS E
/. NE Je SRE :
Cette formule est en défaut si nm — a, mais il est alors facile de s’assurer que l’équation (1) est satisfaite par
AI > “ (8) DA Sa ?sin(ar L 2),
Cette valeur peut d’ailleurs se déduire de la valeur (4) en négligeant Î à S'15 , N .
le carré de #2 — a — 5, ce qui donne
- Cos(ax +e)
k & æ SIN(ax +2), 240 DCE
Comme 11 n'y a pas lieu de tenir compte du premier terme de cette expression qui satisfait à l'équation (1) sans second membre, on retombe sur la formule (4°).
DE
N 1. — Du MOUVEMENT ELLIPTIQUE DES PLANÈTES.
1. Lois de Kepler. — Accélération du centre des planètes. — Les planètes, dans leur mouvement autour du Soleil, obéissent aux lois suivantes, que Kepler (*) a déduites de l’observation :
PREMIÈRE LOI. — Le centre de chaque planète parcourt, dans un plan passant par celui du Soleil et autour de ce dernier centre, une orbite dans laquelle le rayon vecteur qui ront les centres des deux astres décrit des aires proportionnelles au temps.
DeuxièME Lor. — La courbe décrite par le centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.
Troisième Lor. — Les carrés des durées des révolutions des planètes autour du Soleil sont proporuonnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.
Nous rappellerons que le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil se nomme le périhée et Le point le plus éloigné l'aphéle.
(1) Johann Keppler, né dans le Wurtemberg en 1571, mort à Ralishbonne en 1630.
On déduit d’abord de la première loi et du principe des aires en Mécanique que la direction de l'accélération du centre de chaque plancte passe par le centre du Soleil.
Soient, à un instant quelconque,
r la distance du centre 72 d’une planète à celui M du Soleil ;
e l'angle formé par r avec une droite fixe Mx passant par le point M et comprise dans le plan de l'orbite; cet angle est appelé l'anomalie vraie de la planète;
a le demi-grand axe de l'orbite ou la distance moyenne de la planète au Soleil, dont la direction est ce que l’on nomme la Ligne des absides ;
e l’excentricité relative de l'orbite: ï
o l'angle formé par la ligne des absides avec Mx ou la longitude du perihelre ;
T la durée de la révolution complète de la planète;
o l'accélération du centre de la planète considérée comme positive ou négative, selon qu'elle sera dirigée vers le centre du Soleil ou en sens INVErse ;
k le double de l’aire décrite par le rayon vecteur dans l’unité de temps.
On a (1) KT —oraV/1— e et, d’après la première loi de Kepler, (2) RAA
Le carré de l’élément de chemin parcouru dans le temps 4 étant r° dé? + dr*, le principe des forces vives donne, en désignant par À une constante,
r2 do? dr?
(3) TE —=2h—02/f+dr
ou, en éliminant d/ au moyen de l’équation (2),
= h — 2 fo dr;
Fe nl à] F
or l’ellipse décrite a pour équation
(5) I 1+ eCOS(F—w) .) = :
r a(s — €) | I 2 d— . . ll , . »
en exprimant, par suite, [= / au moyen de r et réduisant, l’équa-
tion (4) devient
Carr +2h—2fodr,
d’où, par la différentiation, fè I
et, comme e est plus petit que l'unité, cette valeur est positive. Done :
Dans son mouvement elliptique autour du Soleil, le centre de chaque planète obéit à une accélération dirigée vers le centre du Soleil et qui varie en raison inverse du carre de la distance des centres des deux astres.
En remplaçant dans la formule (6) la constante # par sa valeur tirée de l'équation (1), on trouve
