ALT
(7) g=hr
nl
expression dans laquelle, d’après la troisième loi de Kepler, le coeffi-
cient de à est constant; par suite :
L'accélération planétaire, rapportée à l'unité de distance, a la méme valeur pour toutes les planètes.
Supposons que, la position du foyer M restant invariable, sa distance D au sommet correspondant reste constante en grandeur et en direction; admettons de plus que a croisse indéfiniment, l’ellipse deviendra à la limite une parabole et a(r — e°) aura 2D pour valeur; la formule (6)
1) On trouvera, dans le t [ de notre Traité’ de Mécanique générale, une démonstration géométrique de ce théorème.
se transformera, par suite, dans la suivante :
quinous sera utile plus loin.
La formule (6) est aussi applicable au cas théorique où l'orbite serait hyperbolique; mais alors l'accélération » deviendrait négative, ou répulsive, si l’on peut s'exprimer ainsi.
2. Supposons que, réciproquement, l'accélération d’un point mobile soit dirigée vers un centre fixe M et varie en raison du'earré de la distance à ce centre, et proposons-nous de déterminer la nature de la trajectoire de ce point, courbe qui sera évidemment plane, car deux vitesses consécutives se trouvent dans le même plan.
Posons à cet effet © — -;, y. étant une constante; l'équation (4) de-
vient
d'où
En convenant de considérer de comme positif, on devra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que r décroitra ou croîtra; les changements de signes auront lieu pour les valeurs maximum et minimum de 7 données par
d ra a I be pe t Ch GONE ie — + —.
do F k° / je : J2 SI nous supposons que 7 commence à croître à partir de la position initiale du mobile, on devra prendre le signe inférieur dans l'équation ci-dessus, qui, après avoir effectué l'intégration, donnera k?
Nes b-
RD CIC OS © Vu?+ hk?
en désignant par wo une constante. On déduit de là
TE V IE COS (= ü ) / y?
équation polaire d’une section conique rapportée à l’un de ses foyers. Cette courbe sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que l’on aur:
Si nous désignons par #,, 7, la vitesse et Le rayon vecteur du mobile à l'instant initial, on a, en vertu de la formule (3),
PAU DM — pe == TE
et, au lieu de (&),
PR Ne Fe +07 On voit ainsi que la nature de la courbe dépend seulement de la vitesse initiale et non de sa direction.
De la comparaison entre les équations (5) et (9) on déduit, dans le cas d’un mouvement elliptique,
(Van 25, |
et, en désignant par æ la vitesse du mobile au bout du temps 4, le
principe des forces vives ou-léquation (3) donne
(11) pe
