sin nt — 27 sin3 nt + 4 sinnt

Sin 3 & = sin 3 6 +- A 3sin4{nt— 3sin2rt)

EE re ee ue + = (19 sind nt — 18 sin3nt-+5sinnt)

+ 7 ( gsinGnt— 12sin4nt+3sin2nt) +...

I ne nous reste plus maintenant qu'à développer les puissances de à, suivant celles de e. Posons à cet effet

d’où

En développant L? suivant les puissances ascendantes de e?, on trouve (?)

At ue) WU En, 2P 2p+2 2,9P+# ; 2,3,9P+56 21e d’où >P 9 / FE Past Ê eP+2 + PP de RE j P(P + 4) (P Se Den DD D Pr? 2,9P+# 2,3.92P+6 RETE

(1) Formule (8) du n° 16 de l'Introduction, en y faisant z=u, f(x)=sinr, F(x) = sin2x, 3%,... el ensuite x = +4. (2) En se reportant aux formules (1) et (8) du n° 16 de l’Introduction, nous devrons

remplacer e par — c? et faire x = 2, z= L, f(2) — =) Here

L'équation (30) donne alors

ll Le 3

. DATE. e a eu p— nt+2esinnt+ “LE Sin2 nt + —— (13sin3 né — 3sinnt)

DS e* : :

(31) a 55.3 Uosinént — 44sin2 nt) + — (1097 sin 5 né — 645 sin 3 né + Sosinné) +...

pour le développement cherché.

Si, au lieu du périhélie, on prend, pour origine de la longitude, une position quelconque de la planète, 11 faudra remplacer dans la formule (31) 6 par e — w, en continuant à désigner par o la longitude du périhélie; si, de plus, on choisit pour origine du temps un instant quelconque après le passage correspondant à la longitude moyenne e, l'angle nt devra être augmenté de la constante

D D — A; e est ce que l’on appelle la longitude de l’époque et l'représente le temps moyen employé par la planète pour aller du périhélie à la nouvelle origine du temps.

Les formules (21), (28), (3r) deviennent alors

(A) n(t+l)=u—esine,

7 D à (28) 7 ecosn(£ + 1) — © [cos2n(t + l)—11+..., (na) p—nt+e+aesinn(t+{) +ie sinan(t +) +...

16. Supposons maintenant que l’on veuille rapporter le mouvement elliptique à un plan fixe x M y autre que celui de l'orbite et soient

o l’angle de ces deux plans;

MN leur intersection ou la Agne des nœuds ;

#,, à les longitudes de la planète et du nœud N estimées dans le plan æMy, mesuré à partir de Mx';

r, la projection de r sur le même plan;

0 la latitude de la planète ou l'angle formé parr, r, ;

6 la longitude du nœud dans le plan de l'orbite, mesurée à partir d’une origine quelconque.

La longitude 6 — £ de la planète, dans le plan de la planète, mesurée à partir du nœud, est ce que l’on appelle l'argument de la latitude 9. Le triangle sphérique rectangle, formé par les directions de MN, r et r,, donne tang(p, — x) == cosvwtang(r —B), d’où (Introduction, n° 22), en posant ÿ — tango,

(A) p—a—mp—$8—-ÿsin2(p —8)+{iy sin4(e —B; —1yfsin6(e — À);

mais e est de la forme p—=n+e+epP,

P étant une fonction des sinus de l'angle né + e — w et de ses multiples. Si nous désignons par : un nombre entier quelconque, nous aurons

siné(p — 8) — cosieP. sint(nt + e— $) + sinceP.cosi(nt+e—$),

d’où, en développant,

k L Ê e? P?2 Al e* P* Pl] ei ps à sint(p—$8)—t{71 - — +... ]siné(nt+e—8 F) ( 0 2 es LU 00 F) ep 1e PER me be UICEL + 8 +- | ce = = ——- =. ICOSE(0 ee 1.220 RUES Rae SU OL 4 P)

et, en supposant successivement & — 2, 4, 6, ..., on arrivera finalement au développement (A) de , — x en sinus et cosinus de x et de ses multiples.

Le triangle sphérique ci-dessus donne aussi

tangô — tangy sin(p, — a) — Yysin(#, — x).

On déduit de là, en appliquant la méthode des exponentielles imaginaires, comme nous l’avons fait au n° 22 de l’Introduction,

5 [sin3(v,—x)— 3sin(r, — «)]

0— ;sin(p; — x) + (B)

SRE 2.16

[sin5(v; —a) — 5sin3(v, — x) + iosin(p, — a)] +...

Enfin, en posant tangô —s,on a

LL A \ (C) re rcost=7 (is?) Er de — LS st Si PTS k «): F 2 2

Les formules (A), (B), (C) ne sont convergentes que si e et o sont suffisamment petits.

17. Expression, indépendante de l’excentricité, du temps qui sépare deux positions d’une planète. — Nous prendrons le périhélie pour origine de la longitude. Appelons, pour la seconde position, 7’, w’, #’, les quantités analogues à r, w, 6, t qui se rapportent à la première ; désignons par c la longueur de la corde qui joint les deux positions et posons

(a) mb, ——— —=$ 7 À},

De l'équation (21), établie pour les deux positions, on déduit par différence

(b) == 2 (B— e cos sin ) et l’équation (18) donne (c) r+r—2a(i—ecosf, cosB).

D'un autre côté, on a

C—=r?+r?—02rrcos(e — p}; mais on déduit de la première des équations (19), en ayant égard à l'équation (18), r cos —a(cosu e), “rsinv —aV1e sin,

et, en établissant lesvaleurs semblables pour l’autre position de la planète, il est facile de former l'expression der’ cos(e,e’). Nous avons ainsi

c— a (1 — cosu} + a(1—cosu')— 2a7(e— cosu)(e —cosu') —92a?(1—e)sinu sin!

—92a(1—e)(1— sinusinu!) + ae (cos u + cos u') — 24? cosu cos u’ = 2@(1—e)(1—sinusinu — cosu cosu') + a e?(cosu —- cosu'}? — 2a(1—e)(2— 200$ 8) + a e*(2sinf sinf, )° et enfin

(d) c?— 4 a? sin?$(1 — e? cos?B;).

En portant la valeur de cosB,, déduite de la formule (c), dans Îles équations (b) et (d), on trouve

3 2 RE (b') "= (e Ve eur tangé).

ES SIN SE (d') ce =#a/tans 6e Cos ie Pro) ( % 2 a 1

Posons maintenant

2a—c—(r+r) __ 2a+c—(r+r) 24 DORE 24 É

nous aurons, eu égard à la valeur (d'),

Cos28— 235 +V(1—2<")(1—5;) (!) et 26 — arc COS3 — arc COS £, sin(arc cosz) — sin(arc CoSz;).

tang £ — s ZS)

il vient donc, pour la relation cherchée, I . :

COR — : [arc cos z — arc coss, — sin(arc cos) + sin(arc coss,)|].

Dans le cas d’une orbite hyperbolique, z, z, étant plus grands que l'unité, la formule précédente sera compliquée d’imaginaires, que l’on fera disparaitre en remplaçant are cosz et arecosz, par leurs expressions logarithmiques :

Ven: log(z Se V= — 1 ÿ

arc COSs —

arc cos Zi — n—