VERT

(1) On donne le signe + au radical, parce que l’on doit avoir 6 = o pour r = 7", ce = 0, et par suite z = z1.

ce qui donne

On n’affecte d’un double signe que les termes en z, dans l'hypothèse de =: >z,, puisque + doit être positif. Les signes supérieurs correspondent à #’— e<7; car, pour # —# —0, + doit être nul et l’on a 3 —3,. D'autre part, comme + est une fonction continue de # — #, les termes en z, ne peuvent changer de signe qu’autant qu'ils viennent à s’annuler, ce qui a lieu pour # —+=—7#, puisque alors c=r+7", 3, = 1, et quand ?"— y arrive à surpasser 7, les signes doivent changer pour que 7 continue à croître.

La formule (33), qui donne le temps indépendamment de l’excentricité du mouvement elliptique, doit encore s'appliquer quand l’ellipse, s’aplatissant indéfiniment, se change en une ligne droite limitée par les deux foyers: De ce que z et 3, ne dépendent que de la somme des distances au point attirant, on conclut qu'une planète décrira un arc de son orbite dont la corde est c et dont les extrémités -sont à des distances r, r’ du Soleil dans le même temps qu’elle mettrait

RerieIC

à arriver directement vers le Soleil de la distance à la distance

r+r'—C . ve : : dSGnE è AT —————,; si elle était partie sans vitesse initiale d’un point situé à

une distance égale au grand axe de son orbite. De ce qui précède on déduira sans peine, en supposant a — «, le théorème du n° 11.

S IT. — DéTEeRmMINATION DES CONSTANTES INTRODUITES DANS LES FORMULES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

18. Généralités. — Proposons-nous de déterminer complètement l'orbite d’une planète, connaissant l’une de ses positions et la grandeur et la direction de la vitesse correspondante. Ainsi les données de la question sont la vitesse æ, de la planète dans la position considérée m,, les distances q, et r, de la vitesse et de la position #2, au centre M du Soleil.

La position du plan de l'orbite est évidemment déterminée.

Resaz. — Mécanique céleste. 10

À CHAPITRE Le Le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur de la planète est donné par ko 540

La formule (11) du n9 en mean re rem connaître le demi-grand axe a.

De la première des formules (10) du même numéro, on déduira l’excentricité.

Nous prendrons, pour origine du temps, l'instant du passage de la planète au point 7, et nous considérerons w et # comme se rapportant à ce point, angles qui sont à déterminer. De la relation

; lo—a(1—ecosu)

on déduira w. La formule (21°) du n° 15 donne, en y faisant : — 0,

e Sin &

ou, d’après la formule (22) du n° 13,

e sin u).

era

Supposons que l’on mesure l'angle + à partir de la Ligne des nœuds, intersection MN du plan de l'orbite avec un plan fixe æMy; soient o l'angle compris sous ces deux plans, ou l’inclinaison censée connue de l'orbite; : RS 4 la longitude NMx de la ligne des nœuds mesurée à partir de lorigine Mx, qui est aussi censée donnée; L la longitude, mesurée à partir de la même origine, de la projection Mn, du rayon vecteur Mm, sur le plan æM y;

Ê ART 0, la longitude »,Mm, de m,.

Le triangle sphérique rectangle déterminé par les trois droites Mn, Mr, MN donne

| cosô, — cosp cos(L — 4) + sine sin(L— +) cosv,

cos p — coS0, cos(L — z);

d'où, par l'élimination de cos0,,