Ë PRES COS
Enfin, on calculera la longitude w du périhélie au moyen de l’équation (5) du n° 1, qui donne
1 __ 1 HeCOs(s —w)
QT a(i — €)
et tous les éléments de l'orbite se trouveront déterminés
19. Méthode de Gauss. — Généralement, on détermine les éléments d’une planète en observant cet astre dans deux de ses positions séparées par un intervalle de temps déterminé. Cette recherche, qui, envisagée à un point de vue général, présente de grandes difficultés de calcul, se simplifie notablement lorsque les deux observations sont très rapprochées l’une de l’autre, comme nous allons le reconnaitre, en reproduisant ci-après les formules données par Gauss dans son célèbre Ouvrage intitulé : Theoria motus corporum cœlestium.
Soient
r, r', r” les distances du centre du Soleil à trois positions d’une planète ;
pv <Cv” les anomalies vraies relatives à ces positions mesurées à partir du périhélie ;
2p le paramètre et e l’excentricité de l’ellipse.
L’équation polaire de l’ellipse donne
P 5 —ecosr, P 5 —ecose’, LE 1ecose".
7e Ta 1e
Si l’on ajoute entre elles ces trois égalités multipliées respective-
ment par sin(p"—#!), sin(e —p"), sin(e'— 0),
on reconnait, en remplaçant les produits des lignes trigonométriques par des sommes, que le second membre du résultat obtenu est nul, et l’on a
[Sn TES DEEsin(o re) r'r"sin(p"— #") +. rr" sin(e —- ") + rr'sin(v —#)
1 P+p! (DEA ; ' cos {re cos 2sin(e — +!) Dont 2
1e ss r'r"sin(e"— 6") + rr"sin(e— 6") + rr'sin(o"—+v)
P —= rr'r"
hrr'r' sint(e"— #') sint(e — p") sini(e— + »)
rt sin(e"— 6°) 77" sine — #7) + 77 sin (vw — p JA
Il est facile de s'assurer que le dénominateur de cette expression, changé de signe, représente le double de l’aire du triangle formé par les cordes qui joignent deux à deux les trois positions considérées de la planète.
Cela posé, admettons que l’on détermine par l'observation deux positions de la planète, les rayons r, r”, l’angle #’— v et le temps 4 qui sépare les deux observations, et que 7’ soit le rayon vecteur qui divise en deux parties égales l’angle formé par r,r”; on a
et la formule précédente se réduit à
TT Sn (IE SIN (QUE e (3) D 1 ta de 2 2 r( )
P'(r + r"):= 217" cosE (6 PAUL à \ \ He (+53) 2 0084 (6 — f) > g
équation qui renferme les inconnues 7’ et p.
La formule de Simpson, appliquée à ji r° de donne, pour le double
de l’aire du secteur elliptique limité par les rayons r, r”, la valeur ap-
prochée 1(#— +) (rt Gr r't),
en supposant la différence 6” — + assez petite pour qu'on puisse, avec une approximation suffisante, se contenter de la diviser en deux parties égales. Or, en remarquant que p = a(1 — e?) et en se reportant à la première des formules (10) du n° 2, où l’on fera = 71, le double de
l'aire décrite par le rayon vecteur dans l’unité de temps est égal à ÿp; il vient donc
(56) VDS ESC) GE TEE
En remplaçant, dans cette formule, r’ par sa valeur tirée de la relation (35), on obtiendra une équation qui fera connaitre p, par suite, les
PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. 77 autres éléments de l'orbite. Mais, comme cette équation est du cinquième degré en Vp, pour en éviter la résolution dans chaque cas particulier, on procède par approximation en vue d'arriver à des formules
d’une facile application.
Posons, à cet effet,
At
ral 7 s VD: + = tang (45° + À), nous aurons
(37) 1,21 I r 1 1+tang(45+)) 2 COS À 7 RU = Der: a le S DO PLUS VE ÿri" Viang(45 +2) ÿrr" cos2à
r! 2 rr"
DO) + nr )=rr + tang (45° + À) | — =.
So, (Z de =) tang(49°+ À) 1 8 (4 cos 2 À
D'autre part, l'équation (35), résolue par rapport à r’, donne, eu égard à la relation (37), EL cosi(s"— v)(rr"cos2À)?
2Sin 1{(r—0p)\/rr0cos2X à
:( = DV cos À g° COS À
(39) al
et, en portant cette valeur dans l'équation (36), ainsi que celle qui est donnée par la formule (38), on trouve
io) 3 gt HR. | 2 COS2À COS?1(6"— 6) sp" 31! NT et cn) E . ere 2 rr'(#—v). cos2À 2 sint(e"— p)Vrr" cos2à .
