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PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. 79 planète et Les temps employés à parcourir les arcs qu’elles déterminent. On est alors conduit à des équations dont quelques-unes ne sont pas résolubles algébriquement ; mais cet inconvénient disparait lorsque les observations sont assez rapprochées pour qu’on puisse développer les coordonnées des positions correspondantes en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des intervalles de temps écoulés, et c'est maintenant Ce qui Va nous occuper.
21. Développements en séries de coordonnées d’une planète suivant les puissances ascendantes du temps. — Soient, à un instant quelconque t#, æ, y, z les coordonnées d’une planète parallèle à trois axes rectangulaires fixes passant par le centre M du Soleil. Nous poserons
{ ue dx RS dx . | ot ré É (42 té S—r dr = ga'+ yy'+ 33! s— as = Ps.
die my ne nr de?
Toutes les quantités qui se rapportent à l'instant initial seront caractérisées par l’indice zéro.
Le temps £ sera considéré comme positif ou négatif selon qu’il sera postérieur ou antérieur à son origine.
On a, en supposant le temps # suffisamment petit,
b ru, OR AU dx\.
(b) RC COCA PAT PUIS FATET Ts
et, pour l’une des équations du mouvement elliptique,
C == (c) de Si l’on diflérentie successivement cette équation, on trouve
Bx 32 DA ETS 0) di 75 je
d'æ s° IP \ GE 250 ae (38 99 + ) = SL,
Us sis a tots este cols elelelr ee te elahele.s eoetacs oterAelehels e
En ayant égard à ces valeurs et à l'équation (c), et si nous posons
/ TU DS Te s°? I I VA TEL - + — + (35, 60 +) es, : : : HAT M2 ot
| Le D 05, G°
p = r 5 ,5 / \ 7220 TD ou
la série (b) prend la forme GTI Er U, | et l’on a de même
| Je 0T mi De U, 8 = 51 + 5; U.
Il convient de rappeler que s, est une fonction linéaire de æ,,y,, 3,, dont les coefficients sont respectivement x, y4, %o. Nous remarquerons que, en différentiant l’une des formules (a), on a ae + æ& y Fe dz Lx y? Sr D à de RUE de J ou, en ayant égard à l'équation (c) et à celles qui en résultent quand on y remplace x par y ets,
[l (x) SES re
Si donc on désigne en général par æ la vitesse de la planète, nous aurons (e) = Hat Pot = +.
22. Supposons que l’on connaisse deux positions de la planète, ou x,, Vos Zos Lys Y, 7, et le temps £ écoulé, supposé assez petit pour qu’on puisse en négliger les puissances supérieures à la troisième. Les valeurs de T'et de Use trouvant alors indépendantes des,, s,, les équations (43) seront linéaires en æ,,y,, #, et permettront de déterminer ces quantités; on sera ainsi ramené, pour la détermination des éléments de l'orbite, au cas étudié au n° 18. La valeur s, se déterminera en raison même de la signification de cette quantité, et celle s, au moyen de la
formule (e).
On peut calculer immédiatement a et e au moyen de s,ets,; en effet,
AE do ; :
en éliminant + entre les équations (2)et(3) du n° f, en y remplaçant
I . . N 9 par -;> puis substituant à # et À leurs valeurs (10) du n° 2, on trouve
2R— — —s?—a(1—e*), « d'où, en différentiant, dir: r dr rue — — — — —$$ —O; dé a di E AT TEE ; mais, COMME $ — 7 7 il vient I I RE A de (42 Nous avons donc | I î :
Sy; 76 a (44) 52 | 2lo— — —si —=a(i—e).
On remarquera que les quantités s,, s,, qui entrent dans T et U, ne dépendent que de la forme de l'orbite et non de sa position.
23. Admettons maintenant que l’on connaisse trois rayons vecteurs ro ra, ra et les temps 4, # employés à parcourir les intervalles qui séparent les deux derniers du premier; les équations (43) donnent, en fatsant la somme de leurs carrés, |
ri = riT +2 TU +(x +yi+3)U:;
mais de l’équation (11) du n° 2 et de la première des équations (44) du numéro précédent, on tire
il vient donc
On a de même, en désignant par T'et U’ ce que deviennent T et U
RESAL. — Mécanique céleste. 1i
lorsqu'on y remplace 4 par /’,
\ re rn/ I ; = T2 + 25, T'U'+ Ge à %) U#, ro
et, en s’arrétant aux termes du troisième ordre en £ et £', on aura deux équations qui permettront de déterminer s,, s,, par suite a ete, au moyen des équations (44), et enfin les autres éléments de l'orbite.
