Soient (/ig

T le centre de la Terre supposé fixe; N le nœud descendant de l’écliptique; S, C deux positions contemporaines du Soleil et de la comète ;

Fig. 7.

ARS — ST, 0 STN Ja distance du Soleil à la Terre et la longitude du Soleil; e— TT la projection, sur l’écliptique, de la distance de la comète à la Terres

« = TPN, & = CTP la longitude et la latitude de la comète; r — SC la distance de la comète au Soleil.

Nous affecterons respectivement des indices o, 1, 2 les lettres qui se rapportent à la première, à la deuxième et à la troisième observation, en ne perdant pas de vue que les longitudes du Soleil et de la comète et la latitude de cette dernière sont les seules données de la question.

Nous avons

R=US Va PSI Vhttang Rp = 2Rpcos(e 0)

1/5 —2Rocos(x — 0) + R?.

Si donc nous posons (45) ps vpn cos(to —6,)cos8, = cost, cos(x, —0,) cosf, = cosŸ;,

nous aurons

Po — A — R, cost, ) + R?sin°b..

COS p2 *

Concevons qu'on rapporte la comète à trois axes rectangulaires Sx, Sy, S3 passant par le centre du Soleil, l’un parallèle à la direction de TN, le deuxième compris dans le plan de l’écliptique et perpendiculaire à cette direction, et le troisième perpendiculaire à l’écliptique. Les coordonnées du point C par rapport à ces trois axes étant respectuvement

(a) æ —pcosx — R cosô, y=psinx—Rsin0, z—ptang8,

il vient, en désignant par c la longueur de la corde qui joint la première position observée à la troisième,

LPo(Y COS2, — cos) — (R, cos0, — R, cos0,)P = + [eo(v Sinx, — sina) —(R, sin, — R, sin0,)f ;- \ + po (vtangf;— tang Bo)? |

Si nous introduisons dans cette formule les quantités auxiliaires 2,

G, 2, H, ©, 0, définies par les relations

R; cos, — R, cos0, = z cos G, R,sin0, — R,sin0, = gsinG, (47) Svcosx) — cos —hcostcosH, vsinæ, —sina —hcos{sinH, vtangf, —tang8, —/Asiné, cost cos(fi —H) — gcose,

nous aurons

c=Vpih— 29h 008€ cos(G — H) + 22 = (poh — g cosv) + g?sin’e

en substituant à l'inconnue 5, l’auxiliaire (49) U = pol — gCose.

Enfin, si nous faisons

hi (bo) gcose — hcosB Ro cosh — y», £gcose — — cos BR, cost, — y, £ :

les équations (46) deviennent

Nous allons maintenant chercher à calculer approximativement la aleur de v. Les formules (43) du n° 21, en conservant les notations

du n° 23, donnent Li = LT + &,U, Le = MT! + x, U';

d'où, par l'élimination de x, (b) Ur, — Ur, + Uzx, = 0, en posant

et l’on aura deux équations pareilles à (b) entre les coordonnées de la comète parallèles aux deux autres axes.

En remplaçant, dans l'équation (b) et dans celles qui lui correspondent relativement aux axes des y et des z, les coordonnées de la comète dans les trois positions observées par leurs valeurs déduites des formules (a), on trouve

{ U’hcosas — U'o,cosa, + Up,cosa, — U’R;cosô, —U'R,cos0, + UR;,cos0,, (52) { Ü'po Sin 2 — U'pisinz; +Up, sine, =U"R,sin6, —U'R, sin0, +UR, sin6,, U’e, tang 8, —- U'eo, tang8, + U'o, tangB, — o.

Désignons par X ——Rcosÿ, Y — —Rsin6 les coordonnées de la Terre parallèles aux axes Sx, Sy et par X’, Y’ leurs dérivées par rapport au temps; ces éléments satisferont à des équations de la même forme que les équations (43) du n° 21, et, désignant par 6 et Y ce que

4 S deviennent alors les fonctions T et U, nous aurons

X,—X,0 +XSr, Y—V,0 + Y'r, Xi X,0 +X; Y,—Y,8'+ Yi".

En représentant respectivement par L, L’ les valeurs des seconds membres des deux premières équations du groupe (52), nous avons