Soient
HPoles deux centres ÿixes ; O le milieu de la droite qui les joint; 2c la longueur de cette droite; r, r' les distances du point mobile 72 à F, F; !
mn ja : + nr à ; EE les forces qui sollicitent #2 dirigées vers F, F", chacun des coefficients w et u’ étant positif ou négatif, selon qu'il s’agit d'une attraction ou d’une répulsion.
Pour plus de généralité, nous admettrons avec Lagrange que 77 est de plus sollicité par une force 2vx dirigée vers le point O et propor-
tionnelle à la distance On — x à ce point, le coefficient v étant aussi positif ou négatif, selon que Ia force sera attractive ou répulsive. Nous avons pour le potentiel
(a) V== + — — vi?
La solution que nous allons donner, et qui est due à Liouville, est basée sur l'emploi des coordonnées elliptiques, dont nous noussommes occupé au Titre I de l'Introduction.
Nous prendrons le point O pour origine des coordonnées et la direction de OF pour celle de la partie positive de l’axe des x.
Dans l’ellipse dont le grand axe est 24, on a
tk «
et, en vertu de la première des équations (r) du Titre IT de lIntroduc- Lion,
(b) r = a+ db, d'où (c) DE D De
Des équations précitées on déduit
(d) eo ml rm 2
La formule (a) donne alors
(e) AV={(u+p')a+vcea—vat]—{[(u—u)0+ve02— vb), en se rappelant que l’on a posé à — a? — b?.
La condition d’intégrabilité exprimée par l'équation (14) de l’Introduction est donc satisfaite, et l’on a
| Fa) =[(u-+p')a+vetat— va],
CP) F,(b)=[(u—p)b +ve?b?— vb].
- sm à à
L'équation (16) de l’Introduction donne, par suite,
da \ | V(a? —©@)[(u+u)a VC =Vat LA B| ë | PSS Ce NME db VOCAL AE END yep ny z l et la formule (17) 7 a” du db a —— cb | Vote c'N(u En)ar veau = var Aa BR] 4 | b? db V2 (ce? — D?) [B = ND rp) Ve DE (QE — m')b]
27. Proposons-nous maintenant de déterminer les constantes arbitraires À et B introduites par les intégrations, mais seulement dans le cas où le point O n’est pas un centre d'attraction ou de répulsion, c’està-dire lorsqu'on a y — 0. En se reportant aux équations (A) et (B), on voit que la solution du problème se ramène à des intégrales elliptiques de première espèce.
Les conditions du problème sont, pour { — 0 : 1° les valeurs r,, r, deretr’; 2° y, la vitesse du mobile; 3° l’angle + que forme la direction de cette vitesse avec l’axe Ox.
Nous distinguerons d’ailleurs par l’indice o toutes les autres quantités qui se rapportent à l’origine du temps, et nous poserons
da db
RIRE EE O Aie dt Des équations (b) et(c) on tire A0 te Oo Ti: &y— by Fr d’où
(8) Ty — EL
valeurs qui se trouvent ainsi déterminées.
Nous avons
ee CO h 111 — | =# Sd 7 | — Vo SIN ZX, (a : 0 ) de : 0 )
Resa. — Mécanique céleste. 12
et les équations (2) du Titre I de l’Introduction donnent, par suite,
| I 1 n £ | Pocosa— — (ab, + «a, bo), :
TS CE CHE | Vo Sing = — ( —— ya Û = bob, }.
CONVRCT i CS de Ci )
d’où l’on déduira &!, et b,.
La constante A, introduite dans l'équation des forces vives, à évidemment pour valeur
,2 2 (FANS 1Î L (DE U. ue \ ; U. mr (£) ne (- RS Er 2 AE ru 4 + Lo
ru & a — D
L’équation (17) de l’Introduction donne, en ayant égard à la valeur (f) de F(a), (dy — by) a?
(7) B—{u tb ul)at Aa CHR
