dg (CIE 2x7) dr
__ a(i—e) dÿ nayvi—e ag (69) e dl e dv, 1 dq dy.
CREME Fe à ancote dq an dq DO : + (st Vie ds Vi—esins da” : 4 dy TITI RATE (é gl ant “RU T RC ST re Cose.
Nous avons par suite (Se) = 0, ANG ECC =D, (a, «)—0, (e,g)=0, (e, x) —=0, (vw, 0, (w, €) —=0, (W,4)— 0, (9,e) 0, (es, x) —0o (AE) = NE A) un, (e,H)== Kw, Ee) S'ARTEEE (ee ETeIE= es Li (: Vin e), an D, 4) —
Au moyen de
| da
de
Vi—esin ces valeurs et de la formule (39°) du n° (10, FT), on trouve
dR —=—2a@n—— dt,
de an ; dR anV/1—e? =— 5 dR
V Sr dt + > Lever )=> dt, = — Vi — e? ea
an dR — dé,
Vi—e?sine da OP SR an V1 —e? , dR none dt : FENTE le de, an dR
| Vie sine d
DES PERTURBATIONS DES PLANÈTES. ii 1
Telles sont les équations que nous nous proposions d'établir et qui feront connaître les variations des éléments du mouvement elliptique quand nous aurons déterminé la forme de la fonction perturbatrice.
34. Variations de la longitude moyenne et du mouvement moyen. — Si l’on remplace n{ par & — © dans les formules (28’) et (31°) du n° 15 qui donnent les expressions des coordonnées polaires du mouvement elliptique en fonction du temps, on voit que »£ n'entre dans ces expressions qu'ajouté à e et réciproquement. Il en sera par suite de même pour la fonction R, dont la dérivée partielle par rapport à e sera alors égale à la dérivée partielle de la même fonction par rapport à nr. Nous avons ainsi L
dt = Jos dt = AR,
la caractéristique d se rapportant à la différentielle de R relative au temps, mais prise en ne faisant varier £ qu'autant qu'il est multiplié par ». Les valeurs de da et de peuvent ainsi se mettre respectivement
sous les formes suivantes :
da— ak,
(14) m Rae NCTE Do, PRIE (1 Vie lUR,
e du e 4
De la relation » — a * et de l’expression ci-dessus de da on tire F [12 .
(15) dr da =sSardR;
d’où l’on déduira la valeur qu'il faut substituer à » dans les formules du mouvement elliptique.
Soit BE la longitude moyenne dont la détermination a été le principal objet du calcul de 2; on a
nd far Ed;
expression dans laquelle il faudra substituer les valeurs de da, d& trouvées plus haut.
j : à dR ,
Occupons-nous d'abord du terme de de qui renferme => et représendR CHONT : M ; à
tons par =. la dérivée partielle de R par rapport à l'arbitraire à,
sans faire varier 2 qui est fonction de cette variable. Nous avons, eu égard aux relations établies plus haut,
dR dR dR dn.
da “Fr E ) dé dn da de u RDS EU 1 DH ORLUR UN Er BR.
da de da da, 2 a de da 2 4
Le terme de d dont il s’agit sera donc æ)
2@R (2) — 3antdR —24n (%) — tdn.
da da
Il résulte de là que, toutes substitutions faites, le terme # dn introduit par la variation de » disparaîtra dans l'expression de dË.
Donc, pour calculer la longitude moyenne, il suffira d'employer la formule
(16) Ta pale ele,
dans laquelle on substituera à de sa valeur obtenue en considérant n comme une constante.
En représentant par € Ji dt
le mouvement moyen et remplaçant, dans son expression, z par l’intégrale de l’équation (15), on trouve pour la variation de ce mouvement
(17) À — 3/{ f[ an dt AR.
35. Expressions de do et dx lorsque l’inclinaison de l’orbite sur le plan fixe x} est très petite. — Les orbites des planètes sont généalement peu inclinées sur le plan de l’écliptique, qui lui-même se déplace, mais avec une grande lenteur.
ILest donc permis de choisir un plan fixe qui, pour une longue période, fasse avec les plans des orbites des angles très petits. Mais les
dénominateurs des valeurs de do et dx fournies par les équations (13) sont eux-mêmes très petits, ce qui est un inconvénient; mais on y remédie en substituant à © et « deux autres arbitraires p et g, données par
(18) p =tangosinsx, q—tangecose.
On déduit de là
| = de + q ds,
he | ee Ag — & — p da.
| 1 Eat He
Mais, si l'on considère la fonction R comme ne dépendant que de et ou de p et g, sa différentielle totale a la même valeur dans les deux cas, de sorte que l’on à
dR dR dR dR de a da a dp GES dq TE
En-substituant dans cette identité les valeurs ci-dessus de dp et dg et identifiant les coefficients des termes en do et dx qui se trouvent dans lun et l’autre membre, on trouve
dR sins dR cosz dR
de Cos’o dp cos’e dq” dR __ dR dR
da — 1 dp 2 dq.
La quatrième et la sixième des équations (13) deviennent alors, en supposant coso — 1, ou que l'angle » est assez petit pour qu’on puisse en négliger le carré,
de = — ee ( D pa) de
= ——— | q -- Vi--e?sin® 1 dp dgq di ns 7. (sine ge = Ccosa a) de.
1 —€° Sin? dp dgq
Si l’on substitue ces valeurs dans les formules (18°), on trouve, au
À Resaz. — Mecanique céleste. 19
degré d’approximation convenu,
L “ dR
dp= ——""— (psina+ gcosa) — de, Vi—e sin® ag
ant
dq ne
—— (psinx+ 7 Cos4) A Vi—e sinv dp
et enfin, en ayant égard aux relations (18),
/ an dR
| dp = Ter dq dé,
(19) an dR dq=— -——— -- dt.
| Vi— e? dp
Ces formules, substituées à celles du groupe (13) qui leur correspondent, offrent sur ces dernières, comme nous le reconnaîtrons plus loin, l'avantage de réduire à la forme linéaire, avec des coefficients constants, les équations différentielles qui déterminent l’inclinaison et la longitude du nœud d’un certain nombre d’orbites, ce qui permettra d'effectuer facilement les intégrations.
En supposant que les parties variables dp et àg de p et g aient été ainsi obtenues, les formules
ang = VF, P
