Expression de la fonction perturbatrice. — Soient

m, nm, nm, ... les masses des différentes planètes du système solaire rapportées à la masse M du Soleil prise pour unité;

Mx, My, M: trois axes rectangulaires de directions fixes ayant pour origine le centre du Soleil ;

æ, y, = les coordonnées de la masse 72 et r sa distance à l'origine M;

ru: cn "

p’, ... les distances de m à m',m”,m", .

Pour obtenir les équations du mouvement relatif des planètes par apport au Soleil, 1l faut concevoir que l’on imprime à tout le système solaire une vitesse et une accélération égales et contraires à celles du Soleil, qui se trouvera ainsi ramené au repos.

1: . ’ ’ 11: . [712 nn L'accélération de M est la résultante des accélérations -;> = » dirigées de M vers », m', ...; celle de 77 se compose des suivantes :

Nr rl

=> 5 0 * * Qui sont respectivement dirigées de 7 vers M, m',m",. 1? De 0 O

L’équation du mouvement de 72 estimé parallèlement à Mx est donc CE e TEE TND = CRETE TL m'x"— x

ii — SE EN7r Te = 3 Éd di? 3 ( ) 72 7! pe p! 72 7° p

Si nous remarquons que 72 est négligeable devant l’unité, que

DEN EEE CRE CEE

el si nous posons I xx + yy'+ 33! I vx" + yy"+ 25" R= m'( , 2 m' (> 7 = }- = PME e AE \

a æxæ'+ yy'+ 32!

En te p' eT 73 L

il est facile de voir que l’équation précédente peut se mettre sous cette

forme CECI D: dR

hr sue de 7 dx

Si Rest nul, on obtient une des équations du mouvement elliptique, et par suite R n’est autre chose que la fonction perturbatrice.

Il résulte de la forme linéaire des équations (13) du n° 33 et de la forme de l'expression de R, que la variation de chacun des éléments du mouvement elliptique de la planète troublée 72 est la somme de celles que l’on obtient en considérant séparément chacune des planètes perturbatrices.

On est donc ramené au cas d’une seule planète perturbatrice #7", ou à poser simplement

(2) | R== me VUE one Se = ;

l LE P ait

38. Développement de la fonction perturbatrice dans l’hypothèse d’orbites peu inclinées et d’une faible excentricité. — Soient «, © les projections de r, r’ sur le plan xy; L, L’ les angles qu’elles forment avec l’axe des x. On a

p=\u- bu col ReCEe er CoLlo y Shl,

TNT, A ICOS Li, nec Eine

par suite

RE —— = Vr—2u Ccos(L'— L)+i?+ (3 — 3) (2 32)

à PES doses |

Les valeurs de v, t’, L, L’, x, s’ ne différent de celles qui résultent du mouvement elliptique que de quantités de l’ordre des masses 27’, m”, m",...; mais, comme l'expression de R est affectée du coetlicient »»' et que l’on peut négliger les produits deux à deux des masses perturbatrices, nous supposerons que les valeurs ci-dessus, introduites dans R, se rapportent au mouvement elliptique.

Comme nous l'avons fait remarquer au n° 35, on peut choisir le plan æy de telle manière qu’il comprenne de petits angles avec les plans des orbites elliptiques; la fonction R est alors développable en série

DES’ PERTURBATIONS DES PLANÈTES. (Ra)

ordonnée, suivant les puissances ascendantes de z, 7’, ce qui donne

{ AA | e = == . Col EL) ; m Vo Do cos (L'— L) re v/2 JE ( 8 t3° cos(L'— L) (ze)? ; ND nr x 5 “Te 2 [re = Dre cos(L'— L) + ] Soient

a, a les distances moyennes des planètes 72, mn’ au Soleil;

e, «les longitudes de l’époque de ces planètes, mesurées à partir de l'axe des æ, en supposant (n° 35) que les plans des orbites soient rabattus sur le plan æy, en les faisant tourner autour de leurs lignes des nœuds respectives;

n, n' les vitesses angulaires moyennes de 7», m' autour du Soleil.

Posons hu = a (re 0), ti (0), L=nt+e+y, L'=nt+e+y!, Ù =D mi Les, / à 1 \ :

(4) (a?—2aa! cos + a?) 1=Ÿ arcosit,

AIS (a = 2aa! cos0 + a?) ? = B cost.

Les coefficients À, B ne sont autre chose que ce que deviennent les coefficients des n° (17,1) et (18,1) dans l'hypothèse de v — Le développement (3) prend alors la forme suivante :