COS

SI nous posons L== + 0L,

jL sera une quantité du second ordre en », et la première des formules précédentes donne

ÔL — — tang’ysin2(p-— «),

en remarquant que l’on doit prendre coso — 1 — tang*o. Nous avons donc

(a) L= v — itang’osin2(p — «), puis

cree COs(# — x) (b) COS(P — 2) — sin(e — 4) ÔL

—1+ tang(s — a) ÔL— 1— itang’osin?(v — à) et enfin

mais les équations (28’) et (31°) du n° 15 nous donnent, en y remplaçant a/par (e — w),

__— 1 J # SN SNS Den 2

a —1—ecos(ni+e w) - [cos 2 (nt + 2 —w)—11, p— nt+:+2esin(né +2") + 5e sina(nt + e— vw).

En substituant ces valeurs dans les formules (c) et (a), on trouve, au

degré d'approximation convenu,

Fe) — —1—eCOoS(n{ +e —w) a

nu. [cos2(nt+ e— w) —1]— Itang?g sin?(nt +e— a),

(8) L—nt+e:+oesin(nt+:—v) + Se sin2(nt+e—w)— ttang'osin2(nt+e— a).

Si l’on compare ces valeurs à celles qui leur correspondent dans les équations (4), on a

s ——eCos(nt+e—w) e?

— —[cos2(né+e—w)—1]— ;tangssin(nt+e— a),

X— 26 Sin (762 € 0)

\ + Se? sin2(né+e—w) — ttang’osin2(nt+e — 4).

On peut substituer aux variables © et x celles p et g du n° 2%, don-

nées par p=tangesina, g—tangycose,

d’où D (10) tango = /p? +, tanga = À.

Les équations (9) deviennent alors 5 ——eCOs(nt+E—w) + = COS2(nÉ+E—0w)] (9') 1[p?+ + (p?— q?) cos2(nt +e) — 2sin2(nt+e)pg],

4=2esin(nt+e—w) +ie sin2(nt+e—w) — 1[(qg?— p°) sin2(nt + e) — 2pq cos2(nt +e)].

On a, pour l'équation du plan de l'orbite de la planète 7»,

2=qy—pax(!);

(1) Soit en effet P la longueur de la perpendiculaire abaissée du pied de lordonnée z sur

la ligne des nœuds; on a ZIPAnE Pi COST Sinx;

mais, comme R ne renferme que des termes du second ordre en z et £, on peut remplacer, dans l’expression de z, les coordonnées +, y par leurs valeurs approximatives indépendantes de l’excentricité et de l’inclinaison, ou poser

æ=.acos(nt-+-e), y—=asin(nt+e), d'où

(11) re) Se He) — p COS(nt +e)].

Il ne nous reste plus maintenant qu'à substituer les valeurs (9) et (11) et leurs analogues relatives à 77° dans l'équation (7), sans perdre de vue le degré d’approximation convenu, et à remplacer les coefficients À et B par leurs valeurs P et Q déduites des n° (17 et 18, 1), pour y =;

Nous nous bornerons à calculer le terme R, de R indépendant du temps, qui, comme nous l’avons fait remarquer plus haut, est le seul qui présente de l'intérêt au point de vue astronomique, puisque c’est celui qui se rapporte aux inégalités séculaires.

Il est facile de s'assurer que le premier terme de l'expression (7) est périodique et qu'il doit par conséquent être mis de côté.

La constante du groupe de termes suivant ne peut résulter que des termes en'cç’ et yy’, et l’on trouvé qu’elle a pour valeur

Re. ee cos(w'=— vw),

La constante du second groupe ne peut dépendre que des termes en 54’, 54, et l’on reconnait qu'elle est égale et de signe contraire à la précédente, avec laquelle elle donne ainsi un résultat nul.

d’où, par l'élimination de P, z = y lango cosx — x tangosinx = y px.

Les équalions de la perpendiculaire au plan étant

v TX

— nn 0 = à lang y COS x lang o sinx

on à Cos(P,7) = — tangy COSx COSy == -sinv cosz, cos(P,x) = sinysina.

ce qui définit les inclinaisons du plan de lorbite sur les plans zx et 27.

Le terme constant du troisième groupe a pour valeur

A4 Ce Lee) E Ce ne ns)

QUE 1 da! à da?

da SG I 2 dA, A) 6 F { d'A, Raul 0 2 2 MIE [2 4e 12) Bees (or Lo (pE 9) ea 72 (P que) Force aa'ee'CoS(w'--w)

+ Auce/cos(u'—w) — Def at ( pe ge) — a4( pe qe) + “ aa (pp'+ qq"). 2e L

Enfin on a, pour la constante du dernier groupe,

( dA, Te) ee! COs(w'— w) a + a

da — da 2

Il vient ainsi

RS dA, d? Aÿ\ve? dA5 AAA ——AÀ,+|a Lie ——)— + {a LOU | m' g da 2 da? ) 2 da/ Fe da"? } 2 dA dA d'A, \ee!

== (2 A + «4 . <= a! Se Î aa’ RS LS COS (tw! => &)

dA IA, (ee) ue ang (et +ern)t+e)

'B +7 Gp'+ gg").

Nous allons maintenant chercher à exprimer la fonction R, uniquement au moyen de À, et À,.

Reportons-nous à cet effet aux n°17 à 20 de l’Introduction, où nous ferons DA D A0 =D 0=RB 7 Lesformules (t/, 1), (g, 1) donnent, en y faisant respectivement : = 0,1 —7,

dAs aA,—a'A,

Le da — a?—@ ” A La a, GNT NT fr

En différentiant la première de ces formules, puis en y ayant égard ainsi qu'à la seconde, on trouve

Ge (a'?— a? )? * {is

On déduit de là, pour le coefficient du terme en e? de R;, I dAs PAST 2 =) | 2 \ da 5 de ) de da.

ang et A (2e ta)TAS);

ce coefficient sera également celui de e?, puisqu'il est symétrique en a elae

Occupons-nous maintenant du coefficient de ce’ cos(ow'-- w). Comme la formule (4, 1) nous donne

GA ONE [44 Fri sr FH = == AS

ce coefficient se réduit à

1 se, 2h ! PA: è (a Toners Du)

, , ee e LE) , 0 A, et l'on n’a ainsi qu'à chercher l'expression de ;da da De la formule (x) on déduit d'A;- 1 dA, | CLOECIERATS da da! a da a da da!

La formule (x) donne d A I d'A d'A 2 a!

SE : ni ET MES + ji nl i à 12 2 \2 (aA a'A;). da da a? — da da’, (a?— a}?

D'autre part, on déduit de la formule (4, 1) du n° 20 de l’Introduction

dAs a dA, A,

de ae a' el

dA;, a dA, A,

de MR AT a

ou, en vertu de la relation (x),

LA NEA À Re AN

Giles En da a

DES PERTURBATIONS DES PLANÈTES. 127 Nous avons donc

d A, 1 dA, a A, DIU " dada a da à (ait PE (a? a?}? Gt re 0

2 | S 12 PA ue dA A0 : ae - («A,— a'A,) dada! a da a®—a a(a?— «)! ne

Il ne nous reste plus qu’à substituer dans cette dernière expression

la valeur (œ) de —— et, après quelques réductions, on trouve da d'A, (a?+a)À, 2aa'AÀ, da da (a'?— a)? (a°?-- a)?

Nous avons donc enfin, pour le coeflicient de ee’ cos(w’— w),

(B) (Ai Lau!

d'A, ) CNET RN , (a'— a? a+ a*\AÀ,

da du FENETRE (ar?)

De la formule (d) du n° 18 de l’Introduction, en y faisant y —;,1— 0, PAP 4 10 =PB" on deduit

(a®+ &)A,—2aa'À, (a®— &æY

d'où, pour le coefficient de (p° + g°),

1 d'A aa Er TP D A Ga {un 2 :

( ) 5 Le da Te 0 Star ay l 0 ( + a )Ai] ce coefficient sera également celui de (p?+ g?), puisqu'il est symétrique en a et a’.

La formule (e) du numéro précité donne, en y faisant ë — 1,

d’où, pour le coefficient de (pp' + gg’),

I aa! 2 :

FC l'eau Au — (a+ at) A]

Nous avons donc

R aa! : : | , - À = À, + Sa? &) [2aa'A,—(a?+a)A,][2(e+e?) —(p—p'}}—(g —g'}] T Ka : 2 [aa'(a®+ @)A,— 2(a't-- a?a?+ a*)A,]ee'cos(w'— w). LE)?

On peut mettre cette expression sous une autre forme en substituant

à e eto les quantités b et c du n° 16; on obtient ainsi

R, aa

= gr Lean'Au— (a+ a) Ai] [a (DA et D cf) (pp

D ACT [aa' (a? +a)A,—2(a"— aa + aï)|(bb'+ cc).

Pour simplifier, nous poserons

: ta ’ | J (a, 40e ee [eat A; = (a 20") AT (5) 4(a2== a?) (5) E ni ad ar &ÿ [aa'(a + a) A,—o(a'— aa + at) A),

fonctions qui sont symétriques en a et «’.

Nous aurons alors

(13!) Hi 2 2

Ar TNYO ns [\2 Ro m'a m'f(a, a')| et 4e CPE PARA 2>|

— m'f,(a,a') ee! cos(w'— w),

2 2 — m'fi(a, a')[ bb'+ cc].

{ = - Am NINS AIN = m'Ao+ m'f(a, a!) Lo C°? + DEEE ce ( e ) — (g = 7 À

40. En nous reportant au n°17 del’Introduction, nous pouvons supposer a'>> a et les formules (a) feront connaître, pour v — À, les va-

leurs de A,—P,, A, — P, en séries ordonnées suivant les puissances

a : LES .

ascendantes de =" Mais ces séries sont peu convergentes et exigent par

suite le calcul d’un grand nombre de termes pour obtenir une approximation convenable, ce qui est un inconvénient sérieux. C’est en vue d'éviter cet inconvénient que lon exprime A, et A,, au moyen de deux

autres séries &,, +, et qui ne sont autre chose que celles qui représentent P,, P,, quand on y fait y — — À.

Nous avons

| = «'| 1-7 ne La es L 1\° 4 EM ; l 3 < PUR LB DAS AE ar 2 4 6 3 320: