S IV. — DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES
41. Reportons-nous aux équations (13), (19), (25) du $ IT, dans lesquelles nous ferons R -- R,; nous aurons
(1) AU 0, - | db = — an fi D & D dt, ACER Vi— b2— ce? Re de A ADI EN dp= LS Se chi de, x Vi € dq (9) Re an dk, sx ETS Vie Cje ee ———\dR (4) d—2@n se PIRE que Vi—e(1—V1—e) ee de, e ; Resaz. — Mécanique véleste. 17
42. De la moyenne distance de la planète troublée. — D'après la première des équations (1), nous voyons que la distance moyenne a reste constante au degré d’approximation convenu au n° 38, c’est-à-dire en négligeant les termes de l’ordre rx.
Il paraît intéressant de s'assurer si ces termes n’ont pas d'influence sur la valeur de a, et c’est à cette recherche que nous allons nous livrer.
Nous avons, d’après la première des équations (14) du n° 3%,
da—— 2 a AR:
Or, au bout d’un certain temps, a deviendra a + da, et R, R + oR, la caractéristique à ne se rapportant qu’à des termes de l’ordre #7". L'équation précédente nous donne par suite |
— T2 f(a + 5a) (AR + AR) = & [AR + 2, f0a AR + a? fa ÈR
ou encore O7
es — 2 fa dR +- a [4 oR,
puisque, en négligeant dans le second membre de l'équation ci-dessus les termes affectés de la caractéristique à, on a, d’après ce qui précède, da = 0.
D'autre part, comme da est de l’ordre 2°, mm’, ..., et que R est de l’ordre rr, on a simplement
da — —2a0R.
Il nous suffit, dans cette formule, de substituer à la fonction R un des termes de la série trigonométrique qui la représente, soit (n° 38)
R= m'Jcos(tn't— int +;),
expression dans laquelle J, 7 sont des fonctions a, a’, et n' = a *,
os
n — a ?. Nous avons alors da — — 2a?m'}[cos(ér't — int + j)]ù : DT 3 in | Te WT, ÿ vs Es Êa! Ô 0 J sin(cr int + j) re De dr en |
ou simplement da = —2am'[cos(én't — int +) — Jsin(ir't — int +j)ù],
attendu que da et par conséquent da’ sont du second ordre en », mr’.
Il suit de là que la variation de la distance moyenne de m» au Soleil sera périodique si 'n' — ën est différent de zéro, ou si, comme cela a lieu dans notre système planétaire, les mouvements moyens de #2 et’
. . . mn > .
sont incommensurables. Mais, si le rapport mi» tout en restant Incom-
mensurable, diffère très peu de celui de deux nombres entiers #, 7’, la distance a variera avec une grande lenteur, et sa variation pourra en quelque sorte être classée parmi les inégalités séculaires. Les irrégularités considérables que présentent les mouvements de Saturne et de Jupiter, et qui, pendant longtemps, sont restées inexpliquées, sont dues à cette cause; et, en effet, le mouvement moyen »' de la première est sensiblement égal à deux fois celui 2 de la seconde; d’après l’observanm a
Mais, en résumé, les grands axes des orbites planétaires n’éprouvent pas de variations séculaires proprement dites dépendant des masses des planètes et des produits deux à deux de ces masses. Il en est par conséquent de même des mouvements moyens.
tion, la différence 57’ — 2n est inférieure à
43. Théorèmes généraux relatifs aux inégalités séculaires. — Nous poserons (5) (-R,=m'F, DE 7700 HS le signe Z se rapportant à la somme des produits deux à deux des masses des planètes du système solaire.
1° La fonction ® conserve une valeur constante. — Les équations (2), (3), (4) ont pour équivalentes les suivantes :
dæ
| m db — — CRT vie dt, ni | .… mdc— anVi—b— € ar db
MADp—= —— #% dé, | | 1 Vire: dq de) an d m dqg = — —— -- dt, | Vi = e? dp dæ an — -\ dd 1 Eee a TR ÉTAT, » / 2\ (5) me 20 nr NE Er e) 7 dt.
Ces valeurs sont complètement indépendantes du degré d’approximation avec lequel R, ou ® a été calculé.
En retranchant l’une de l’autre les équations (2’), multipliées respectivement par de et db, on trouve À
Les équations (3') donnent de même
dp dæ 2 dp + de Flo = ©:
Comme ® est une fonction de a, b, c, p, q, a’, L', c', ... indépendante du temps et que les grands axes n'éprouvent pas d’inégalités séculaires, il résulte des deux équations précédentes que d — o. Done, la fonction ® conserve une valeur constante.
2° Des excentricités. — Sinous négligeons les cubes desexcentricités et des inclinaisons et les termes du troisième ordre relatifs aux masses,
m',..., la valeur de R, sera donnée par la formule (14) du n° 39,et l’on
à dæ db db d :
voit que >; —» — —— seront du premier ordre; nous devrons, en doc pe
conséquence, substituer aux équations (2’) et (3’) les suivantes :
| MAL = Lis dE, (2) de j | OA EU de dt Ch | App = Wan ci de, ” dq (5°) { dæ | m dq = — an —- dt.
dp
En ajoutant entre elles les équations ( 2”), multipliées respectivement —ÿ 2 2 par bet c, on trouve, en se rappelant que nr = a ?, b+ c? —e?,
dp dæ
et, pour tout le système planétaire,
— de? dæ dæ | db , d?
Che Gb 4 ACC D! + dc!
DIECARRRE
Si l’on se reporte à la formule (14) du n° 39, on voit que, en ne considérant que les termes de I, qui dépendent en même temps de b, 6, À”, c', on a une expression de la forme
P—H(b+ + b°+ ce) + G(bD' + cc!);
d’où l’on déduit
ee — a b —=H{(b'c — c'b),
: Hip er!
a de DCE cb'},
et ces deux termes se détruisent par addition. Il suit de là que le second membre de l'équation ci-dessus est nul, ou que l’on a
(6) SmV/ae? — const.
Donc :
La somme des produits des masses des planètes par les racines carrées des denu-grands axes et les carrés des excentricités reste constante.
Il suit de là que les excentricités des orbites planétaires ne peuvent pas croître indéfiniment, et qu’elles restent très petites, puisque, actuellement, la constante de la formule est très petite.
3° Des inclinaisons. — Des équations (3”) on déduit — p dp + q dq dp dp , dB , dæ » SR — l — = FE dt aq 7 dp P dq' 7 dp' HE
On démontrerait, comme plus haut, que le second membre de cette
équation est nul. On a donc
Em\/a(p?+ q?) = const.
ou
(5) SE mV/atang?e == const. ;
d’où ce théorème :
La somme des produits des masses des planètes par les racines carrées des demi-grands axes et les carrés des tangentes des angles des inclinaisons est constante.
Il suit de là que les inclinaisons resteront très petites, comme elles le sont actuellement.
4° Des équations (3”) on tire
& Ve 70 Æ db dæ
EmVa dr ture ; — dq __ dB dv
LL ALT RO. Eat
mais, en se reportant à la formule (14) du n° 39, on voit que les seconds membres des équations précédentes sont nuls. On a donc
{ EmVap = const., (8)
| 2m Vag — Const
5° Relations entre les vitesses angulaires des périhéelies et des nœuds des orbites. — Des équations (2”) et (3”) on déduit la suivante : - bdc—cdb+qdp—pdg d® dt dé d& dÿ dæ
Em\a |
de = db doll dp à dq Fab | de
Re 00)
Comme ® est une fonction homogène du second degré en b, c, p, q, b',e, ..., le second membre de cette équation est égal à 20 ou est constant.
D'autre part, nous avons
b—esinw, C —eCosw,
p=tangysina, g—tangvocosa,
d’où
bdce — e db — —e? dv, q dp — p.dq = tang?o da.
Nous avons donc
du da mac? à read ma tang?v
— Const dé
En se reportant aux équations (2”) et (3”) et à la formule (14) du n° 39, on voit que db, de sont indépendants de p, q, et dp et dg de b et c; en d’autres termes, le couple de valeurs e, w est indépendant du couple de p et g et vice versa. L’équation précédente se décompose, par suite, en ces deux autres :
— , dw
| EmVyae? — — const., dt
EmV/atang?v Ti = LOnSt.,
: 5 . . + DERON ei (© du desquelles il résulte que, si les vitesses angulaires des périhélies ni duw'
> "sont toutes de même signe, ainsi que les vitesses angulaires des
: dax da!
nœuds des orbites RTE croitre indéfiniment.
6° Relations entre les variations des longitudes de l'époque. — La troisième des formules (13) du n° 33,
-, ces différentes vitesses ne pourront pas
CS = GR te Vi 2 "dt de ou AN. —— AP m do — re dr, e de
permet de réduire l'équation (4°) à la forme suivante :
(ae }m dw + »Va Sat,
en se rappelant que x — a *. On déduit de là
Smya & = Smya(s AVI a)? -osaP
Or, ® étant une fonction homogène du degré —renaeta,ona
dæ Ea— —=— D —const.
dt
D'autre part, en négligeant le cube de e?, nous avons
= , do — — 15mV/ae —;
di
Sm\/la(i — Vi
quantité qui est constante en vertu de la première des formules (9). Il vient donc
= CE (10) 2mVa—- — EOonst.
dt
Si, dans cette équation, on ne considère que les termes de €, &’, …, qui ne contiennent le temps qu’à des puissances supérieures à la première, on peut faire abstraction de la constante du second membre, et l’on obtient, en intégrant,
(10!) Em\/as— const.
44. Considérations générales sur la stabilité du système solaire. — Nous avons démontré que les grands axes des orbites planétaires restent constants aux termes du second ordre près relativement aux masses des planètes; on a même démontré qu'il en était encore de même lorsqu'on tient compte de ces termes. Il n’y a done plus à revenir sur ce fait que les grands axes restent constants; mais il estimportant de s’assurer si le second théorème du numéro précédent, relatif aux inclinaisons et aux excentricités des orbites, a encore lieu lorsqu'on tient compte des termes du second ordre en 7x, »', ..., quelle que soit l’approximation à laquelle on s'arrête dans le calcul des quantités e, o, e’, Derre.
La première des équations (2) du Titre II de l’Introduction nous donne, en y supposant la masse M du Soleil égale à l’unité,
LUS, + ae-2|;
- dx FRET x 17e RL FES , / F em(y Te 2) C+Emm Le 7) (Y'—Y)— (y — 7)
Nous avons vu (n° 2) que, dans le mouvement elliptique de 7», le double de Paire décrite dans l’unité de temps par le rayon vecteur a
DES PERTURBATIONS DES PLANÈTES. Re
pour expression ÿa(r — e?), ou que
dx dy Ÿ — x T— late) cose:
de dt ;
Cette relation a encore lieu dans le mouvement troublé, en y considérant eet comme variables. Nous avons donc
EmVa(i—e?)cosge — C + >mm| (x
2e (y'—7)—(7"— 7) 4 (El s | :
Conformément au degré d’approximation que nous avons admis, nous devrons substituer, dans le second membre de cette équation, les valeurs des coordonnées qui se rapportent au mouvement elliptique; or, comme æ, y et x’, y’ ne dépendent respectivement que de termes périodiques en 4 et n't, on voit que le second membre dont il s’agit ne peut se composer que d’une constante et de termes périodiques dont nous devons faire abstraction. Nous sommes donc conduit à poser
EmVa(r — e?) cose = const.
La deuxième et la troisième des équations (2) du Titre Ide l’Introduction donneront de la même manière
Emya(i—e)singcosa—const. (!),
EmVa(i—e)sinesins — const.
Si, pour simplifier, nous ne considérons d’abord que deux planètes », m', dont les plans des orbites comprennent l'angle y, nous aurons COS y = Cosv cos + sinv sinw' COS(x' — &).
En ajoutant membre à membre les carrés des trois équations suivantes :
mVa(i—e)coso + m'V/a(1—e"?) cosv' const mVa( mVa(i—e)sine sina-+m'V/a(1—e") sine! sinx — const.,
&) sine cosa + m'Va!(1—e"?) sin! cosa! — const.,
(1) Dans la note du n°39, on a démontré, en effet, que les cosinus des angles formés par le plan de l'orbite de 2 avec les plans zx, zy ont respectivement pour valeurs — sine cosx, sing Sin.
Resaz. — Mécanique céleste. 18
on trouve
ma(1—e) + m?al(s — e?)+ 2mm'V/aa(i—e?) (1 — e"?) cosy = const.
Nous remarquerons qu’on a identiquement
: 12 — e SUENIT (3 Vi—e=i;i— il PES, —— 1+Vi—e? 1+Vi—e® sin°y COST 1 + COSY
et, en nous rappelant que Va = na?, Va — n'a"?, nous aurons
Vaal(1— e)(1— e?) cosy
9 9 ES 5 FX = ann! (Vi e'2 ———
COS y I + Vi = €?
= LOS NIV a ——— —— } CoS y 1 Teen 1+V/1— 6e?
D: sin? CA EP, ge — caen in - - — COST — —— = COSY |.
LHCOSY 14 V1 —e? 1+ViI—e"? /
Introduisons cette expression dans l'équation établie plus haut; en faisant passer dans le second membre les termes constants qui ne renferment que &, a ,netn', nous aurons
DNS 12 19 \ DS : e2/1—e"? e!2 sin?
maermae?+ommaa"?nn (5 \ RS De pe Os const.
1+Vi1—e 1+Vi1+e? 1-+ COSY
La constante, qui est du quatrième ordre ene, e’, y, m, m', est très petite d’après les valeurs mêmes de ces éléments qui résultent des observations actuelles, et, comme les vitesses angulaires », n' sont de même sens et de même signe, tous les termes de l'équation précédente sont positifs, d’où il suit que les quantités e, e’, y resteront toujours très petites, comme elles le sont actuellement.
Onarriverait au même résultat en considérant un nombre quelconque de planètes m', m", ..., puisque chacune des planètes 7x’, m7”, ne ferait qu’ajouter au premier membre de l'équation ci-dessus des termes semblables et du même ordre de grandeur’que ceux qui le composent.
in]
Ainsi donc, la stabilité du système planétaire est assurée relative-
ment aux grands axes, aux excentricités et aux inclinaisons des orbites,
en ayant égard aux termes du second ordre dépendant des masses perturbatrices.
45. Calcul des inégalités séculaires, des excentricités et des longitudes des périhélies. — Nous désignerons par y le nombre des planètes 7, m', ... qui agissent les unes sur les autres.
En ayant égard à la formule (14°) du n° 39, qui donne le terme en de la fonction perturbatrice séculaire, les équations (2) du n° #1 nous donneront
| dd =—an {2c{m'f(a, a')+ m'f(a, af) +...
micfi(a, a) m6 fi(a; al) 1""#,
Jane bin f(a arr fie; ar) 2."] — m'b! fi(a, d'}=— m'b' fifa, &”)—...,, (1) db'=— an |2c'[m f(a,a)+m"f(al, a") +...
CII, GC i(d, AR
don Nab ira are m'f(a al) +.
— mbf,(a,a')— m"'b"f(a!, a") —...},
Ces 2 équations seront satisfaites par des valeurs de la forme
b—=Gsin(At+k), c —Gcos(hkt+k), b'—Gi'sin(ht+k), c'— GX cos(ht+k), b'—=G'sin(ht+k), c'—G?Xcos(ht + Kk),
dans lesquelles 2, #, G, \, 1”’;... sont des constantes. En substituant ces valeurs dans les équations (1), on obtient les v suivantes :
h —=— an |2[m'f(a,a')+m'f(a, a") +...) — ml f(a, a')—m'\'fi(a, a')+...i, (3) Vh=— a'n'{2\'[mf(a, a) + m'f(a!, a") +...]
— m fi(a, a) — m'X\"fi(a', a!) +...},
En éliminant les x, X’, ... entre ces équations, on obtiendra une équation en 2 du degré v; à chacune de ses racines correspondra un système de valeurs de w, x”, .
Soient (A MAN. ele systèmedemaleurs eee \’, .…, correspondant respectivement aux racines ht he deedqus tion en 2; G;, 4; deux constantes arbitraires. Les 2v équations (1) seront satisfaites par
b — G, sin(At+k)+G sin(At+k)+..., c = G cos(h,t + k;) + G cos(hot + ki) +..., (4) b'= GX; sin(Ait + ki) + GX sin(hit + k)+ ..,
c'= GX, cos(hit + ki) + GX, cos (hit + k)+...,
et ces expressions en sont les intégrales générales, puisqu'elles renferment 2v constantes arbitraires G,, G,, ..., #,, £,, ..., qui ne pourront être déterminées que par l’observation.
Les valeurs de b, c étant supposées connues, on déduit celle de e de la formule
e=P+ce—=G+G2+...+2GG C0oS[(ho— lu )E + Ko k]+...,
et l’on aura 2 L (Gi + Go +...)
si les cosinus qui entrent dans l'expression de e? sont tous réels; en d’autres termes, les excentricités des orbites pourront, à la longue, éprouver des altérations appréciables, mais qui, néanmoins, resteront toujours de très petites quantités, si les racines L,, h,, ... sont toutes réelles et inégales, et c’est ce qui a lieu. En effet, si nous supposons que quelques-unes de ces racines soient imaginaires, b renfermera un certain nombre de termes de la forme BEY', E étant la base du système de logarithmes népériens et B, y des constantes réelles. Soient CEY', B'EY, C'EY, B'EY, ... les termes, correspondant à BEY', de c, b’, c', b’,..., les coefficients C, B’, C’, B”, ... étant aussi des quantités réelles. Ces expressions de e?, e?, ... renfermeront respectivement les termes (B°? + C?)E°*, (B°?+ C?)E?, ...; mais nous avons trouvé au n° 43 l'équation
(2) EmVae?= const.,
dont le premier membre comprendrait le terme E[mV/a(B?+ C2) + m'Va/(B2+ C2) +... ],
qui ne se réduira avec aucune autre; par conséquent, si les radicaux Va, Ve .… sont de même signe, c’est-à-dire si les planètes circulent dans le même sens, il faudra qu’on aitB — 0, C— 0, B'—=0,C—0o,.…. pour que l’équation (x) soit satisfaite. Il suit de là que b, c, b', «’, ne renferment pas d’exponentielles, et par conséquent l'équation en L n’a pas de racines imaginaires.
Si cette équation avait des racines réelles et égales, b contiendrait un certain nombre de termes de la forme B£*, et si CeY, BY, Ca sont les termes correspondants de €, b’, c', le premier membre de l’équation (x) renfermerait le terme
er mVa(B?+ CHE al(Dee C2)" 4!
et l’on démontrerait comme ci-dessus que B = 0, C — 0, B'—0o, ..…. L'équation en À ne peut done avoir que des racines réelles et imégales. La longitude du périhélie de » sera donnée par
__Gsin(hé+k)+G sin(lét+ k) +...
ce Gcos(hit+ k;) + Ga cos(hot + k) +...
tango —
Si l’on porte cette valeur dans l'expression
tango — tang(A;é+ Kk;) 1 + tango tang(At + Ki)
tang (wo — hit k;) = on trouve, après réductions,
tang (0 — ut — ki) . Gsin[(,—A)t+k—k]+G;sinf(A,—M)ié+k;—Kk]- | Gi Gcos (Mere AI]E Gi cos[(h hi) &, = Ki] +...
Si, en ne considérant que les valeurs absolues, on a G, > G: + Gy +.…., le dénominateur de l’expression précédente ne pourra devenir nul; les oscillations de l'angle © — L,t—.#, resteront par suite comprises entre 90° et — 90°, et 2,4 + #, représentera le mouvement moyen du périhélie; toutefois, de ce cas particulier, on ne peut rien conclure de
général, et les périhélies pourront se déplacer d’un mouvement varié,
mais très lent (n° 43), sans qu’on puisse assigner des limites à leurs déplacements séculaires.
Dans les applications, on opère d’une manière différente de la précédente pour calculer les inégalités de e et w; on emploie à cet effet la deuxième et la troisième des formules (13) du n°33, en y faisant R =R, et en ayant égard à la formule (13°) du n° 39.
Nous avons d’abord, en négligeant e? devant l'unité,
an dR TE — ST) sis CU Cor un dR Done ON TA e de puis | an Cr IN ETES ! up NVNES " de eu Em! f.(a, a')e'Sin(w'— w) + m" fi (a, a”)e’sin(w"— w) +...], OP do —— an |: mJ(a, aan (a, ae e! e!
—m'fi(a, a!) “ cos (w'—w)— mm" f,(a, a") PL LICE +. ;
On aura des expressions semblables pour de’, du’, de”, du”, ..., qu'il nous parait inutile d'écrire.
Qu’il nous suffise de considérerles équations (5). Nous pourrons, avec une approximation satisfaisante pour plusieurs siècles, avant et après l’époque choisie comme origine du temps, intégrer ces équations en donnant, dans les seconds membres &, e, e', e”, ..., w, w', w”,..., les valeurs qui se rapportent à cette époque.
Pour obtenir des valeurs plus exactes, il suffira de remarquer que e, w deviennent, au bout du temps £, |
de A Lane LE , de à LC OR ASE ES Soon ds net T° di > dû ‘ Me; our k
et, comme les équations (5) et leurs semblables en e’,w', é’,w”, ... donar de de del Gel e ] rentiation, les valeurs de 5; =; +, =, =, ... nent, par la différentiation, les valeurs de MT Eat) Let) Be Del on pourra étendre autant qu’on le vou de ar 0 2 are ar x 1? COUP |
dra les deux séries précédentes; mais 11 suffit, dans la comparaison des
observations les plus anciennes que nous connaissons, de s'arrêter au troisième terme de ces séries.
46. Calcul des inégalités séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds. — Des formules (3) du n° 41 et de la formule (14') du n° 39, on déduit, en négligeant e? devant l'unité,
dp= an [m'f(a,a')(g’ —q)+m'f(a,a")(g" —g)+...]de,
dq = an |m'f(a,a")(p"p )<+ m"f(a, a") (p"— p) +...] de,
() dp'= a'n'{mf(a,a')(q —g')+m'f(a,a")(q"—q)+...1dt, | dg'= — a'n'[m f(aa!) (p —p') + m'f(a, a")(p'— p) +...]dt.
Ces équations s’intégreront comme les équations (1) du numéro précédent, et nous obtiendrons ainsi des résultats de la forme
p=Nsin(t+l)+N(ut+l)+..., g=Ncos(t+l)+Ni(üut+l)+..., p'=N'sin(it+l)+Nisin(ñt+l) +...
g'=N'cos(it+l)+N'icos(üt+ li) +...
1, Li, ,... étant les racines d’une équation d’un nombre égal à celui des corps qui réagissent les uns sur les autres, et les N, / des constantes qui dépendent de la position des orbites à une époque donnée. Nous avons conclu de l’équation (7) du n° 42 que les inclinaisons resteront très petites, comme elles Je sont à présent; les racines & seront, par suite, réelles et inégales.
Nous rappellerons que l’on a
tango —|\/p°+qg, tanga— EA G Dans les applications, pour calculer les variations éprouvées par o et «, on substitue aux équations (1) d’autres équations, qui peuvent s’en déduire, mais qu'il est plus simple d'établir directement.
Les quatrième et sixième équations (13) du n° 33 nous donnent
[ ’ an nr AN do = — —— — | Vr— e Sing da 4 G) an mn LAN A — de,
Vi—e sine de
et la formule (13°) du n° 39, pour le terme de R,, qui ne dépend que
ler p, Pre
(aa) Fa
R,=—m [tango sina — tange'sina’)? + (tangecosa— tange cosz")?].
De là on déduit
dR ; :
7 = — m'y (à, a')tansrlianselsin{ac), du ; ‘ dR (æ a tango’ ==" on ) tango [1 — © cos(x'— 4) |:
de cos? tango |
Les formules (2) nous donnent alors, en négligeant les carrés des inclinaisons et des excentricités,
{do = — an [m'f(a, a')tangs’sin(a— «)+m"f{(a, a’) tange!sin(a—c) 1],
On | m'f(a, a) —m'f (a, a") ">.
S tango’ tango” ah mn fu, a) cos "a) eur(d a) "Coste de tang rs tange é (3) ane ane à dy'—= — a'n'[m f(a, a”) tangesin(a—«') + m'f{(a',a") tango" sin (ai— à) PF. ] dt,
da — a'n! |- mf (a, a')— m"f(a', a") —...
tango ; tango” , + m f(a, a) 2% cos(a x )+ mi f(al, a" COS (nn). 7e tango’ È tango’ é
Pour rendre applicables ces formules aux usages astronomiques, il faut leur faire subir une modification, en raison de ce que les astronomes ont coutume de substituer le plan mobile de l’écliptique au plan fixe auquel nous avons rapporté jusqu'ici les orbites planétaires.
Supposons done que 72 représente la Terre; considérons un plan fixe My, passant par M, censé peu incliné sur les orbites des planètes, et deux axes rectangulaires Mx’, My’ tracés dans le plan. Soient Mz la perpendiculaire en M à ce plan, x’, y’, z' les coordonnées de +’ à un instant quelconque, z l’ordonnée du plan de l’écliptique correspondant aux abscisses æ', y’.
Nous avons (n° 39)
= Qype = y = pr
et, pour la hauteur z, de 7’ au-dessus de l’écliptique,
nes NT
en négligeant les termes du second ordre relatifs aux inclinaisons. Mais, si ,, 2, désignent l’inelinaison et la longitude du nœud de »' sur l’écliptique, on a aussi 3, = y'tango COsa, — x tange sin x! ; d’où tango cosa; —g'—q, tango sina —p—p,
