CG I
il ne nous reste qu’à déterminer les dérivées par rapport à a des fonctions / (a, a’) et f,(a, a’), en nous rappelant que nous avons aussi établi au numéro précité la relation
(8) dAs = &'dAo, da a da Nous avons posé
Tara AGE DE [zaa'A,— (a+ a)A,l],
d’où
df(a, a') a'(a®+3@) JOIE tar
[2aa'A;—(a?+ a?) A]
1 aa! dA, dA, L GG (GE 2) 0 GAS À ||; Te De da ( la P 4
dA) > dA, 240) 1 (a — À) aa'À, —2aÀ; da da {{ .. a! dA —(3a— a!) + oa'A,—2aÀ, a da
A,(a+a")aa +A,(a*—5aa"+o2a) a(a'?— a?)
et enfin
CHUTÉ a!
(2) 5 dre (0 à 24 )au'—(a?+oa)a?A,].
Considérons maintenant la fonction
Aya )= es [aa/(a®+ a)A,— 2(at— aa + ai) A;T.
148 CHAPITRE Il.
Nous avons
Aie a ; ; Un . = tas ne (C0 a)A,—2(a'— aa a')A;] I DAT ANGES Fe FU FC ————., |aa'(a?+ a? 2(at— a+ at) —— + 4(a?— &) | ( Fo da ( ) da + da 3a)Au+ ha(a®— 2) | et d'A ,, SA Tee aa'(a'?+ B) —2(at— a?a+ at) . - a(a?+3a@)A,+4a(a?—2a)A; (4 a! AN A ee = —(2a"—3@a?+ at) Fe + a'(a?+3a)A,+4a(a?—2a)A,
I Le de , era a+ 5ata'?— Lat)aa'A,+ (2a%— a'*a?—11a"at+8a)A,].
Après quelques réductions, on trouve
ANG UE da 7 4a(a?— æ@}
(3) [(ga?— a")aa' A, + (2at—9a?a—3a')a"?A,].
Les formules (2) et (3) ne sont réellement utiles qu’au point de vue des calculs numériques, car elles n’offrent pas de symétrie.
C’est pourquoi nous nous en tiendrons à l'équation (x), en ajoutant toutefois aux notations qui s’y rapportent la suivante : A, —/,(a, a’), en nous rappelant que ce coefficient est symétrique en a et a’. Nous avons donc, en tenant compte de {outes les masses perturbatrices,
A, ; ANNE) PORC ls
| d— m'an | 24 7 [2 a a Je )|e Reda a) WP CET AR É es L/(a, a ) ee COs(w'— w)
Joe r ; , DIN RS INSe eee CAC 8) LE (2 ) (2 ) | 7 da VS 2
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Si, comme dans le calcul des inégalités des autres éléments de l’orbite de 72, on n’avait eu égard qu'aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons, l'équation (4) ne donnerait, par l’intégration, qu'un terme proportionnel au temps, qui, dans l'expression de la longitude moyenne, ne ferait que modifier le mouvement moyen ; ÿe ne peut donc dépendre, par suite, que des termes en e?, «? oup?, a, que nous avons dü dès lors conserver.
Supposons que l’on ait substitué (n° 36), dans l'équation (4), à e?, Sins ecoso,..., leursexpressions (02 16c);.b; cie let à10, c;.b!, c! leurs valeurs approximatives limitées à la première puissance du temps, conformément à la méthode indiquée à la fin du n° 45, nous obtiendrons un résultat de la forme
de = Mn dt + 2Kt dt,
H, K étant deux constantes dont les valeurs sont connues; on tire de là, en intégrant, © a 7 2 de — Hat + K4?, , = se SC A7 et l’on a, pour la longitude moyenne corrigée,
nt+et+èe—n(1+H)t+Ke.
Le terme Hz£ ne fait qu'augmenter le moyen mouvement primitif dans le rapport de 1 + H à l'unité, et le moyen mouvement corrigé semblerait répondre à la distance moyenne corrigée
(4 ' 2) GG +H) mais, comme H est une très petite quantité, puisqu'elle est de l’ordre des masses 2,m,...,il ne résultera de là qu’une correction insensible, dont il est inutile de tenir compte dans les distances moyennes.
Il faudra, au contraire, tenir compte du terme K#°, qui constitue une véritable inégalité séculaire dans €, par suite dans la longitude moyenne; toutefois, comme le coefficient K est du second ordre en 7», m,m",..., il y a tout lieu de croire qu'il sera toujours peu considérable. Ainsi, si l’on considère Jupiter et Saturne, qui, par leur grand éloignement des autres planètes, ne sont soumis, pour ainsi dire, qu’à leurs trois actions mutuelles indépendamment de l'attraction solaire,
et qui sont les deux planètes dont les perturbations sont les plus considérables, on a, pour Jupiter, en évaluant z en années juliennes,
de — — 0/,000000 325 /?,
d’où l’on tire pour Saturne, au moyen de l'équation (ro) du n° 43, mise sous la forme 77 Va de + m'Va! je = o, la valeur
