V. — DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE DES COMÈTES
48. Les excentricités et les inclinaisons sur l’écliptique des orbites cométaires étant considérables, on ne peut plus appliquer, pour calculer leurs perturbations, le procédé que nous avons adopté pour les planètes, et qui est essentiellement basé sur le développement de la fonction perturbatrice, ordonné suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons.
La méthode dont on fait alors usage consiste à partager l'orbite en portions suffisamment petites, pour chacune desquelles on puisse calculer, au moyen des formules de quadratures par approximations, les altérations produites par les forces perturbatrices, exprimées en fonction des coordonnées de la comète et des planètes perturbatrices.
49. Variations des éléments du mouvement elliptique des comètes. — Nous négligerons, dans ce qui suit, les carrés et les produits deux à deux des forces perturbatrices, ce qui nous ramènera à déterminer les variations des éléments elliptiques de l'orbite cométaire dues à chacune des planètes perturbatrices comme si elle agissait seule.
Soient
Mx, My, M: trois axes rectangulaires de directions fixes passant par le centre M du Soleil;
æ, y, z les coordonnées à l’époque # de la comète m7;
mX,mN\,mZ les composantes parallèles à ces axes de l'accélération qu’elle reçoit de la planète perturbatrice 7».
Si nous posons
(1) 7% y 20, 0. RE CAE
nous avons, d’après un principe connu,
| dC = m'(xY — yX)dt, dC'= m(zX — x1)dt, dC'=m'(y2—2:Y)dt.
ns el
Il est évident que C, C’, C” se rapportent aussi au mouvement elliptique que prendrait la comète au bout du temps £ si la force perturbatrice venait subitement à s'’annuler.
Nous prendrons pour plan æy celui de l'orbite de la comète correspondant à une certaine époque prise pour origine du temps; de sorte que z, C’, C’et l’inclinaison + seront de l'ordre de la force perturbatrice. Les équations (2) se réduisent, par suite, aux suivantes :
| dC = m{(xY—7yX)dt, (2!) CAD ele dC=m'yZdt.
Nous avons maintenant, dans le mouvement elliptique ("),
[ntte—w—=u—esinx, a(i—e) he —a(i—ecosu), 1+ eCos(p —w)
5) e — Cosu ‘ie CET) A en
d 1— e COS
; Vi — e?Sinw SIN (6 — ©) = ————— ; ) LPC COSU
1— eCOSu du 1 Ti GUN,
CE Re T7 an
r(e—cosu) £ ap
LE TCOS(P—w) — a(coSu — e) —.
I — e COS
/ D VERT ae 1) : __——;: 1 e sin ( Y=rSin(#—-v)— are? innives PÈME;
: 1—eCOosu
e V AL A SIQU AU 7777, Vi e?
| dy =aVi—ecosu du =V1= #(%ae)du.
(1) Voir les n° 13 et 15 pour l'établissement des trois premières formules du groupe (5) et la première du groupe (4). Les autres s’en déduisent sans difficulté.
Les équations (2) deviennent, en y remplaçant dt par sa valeur cidessus,
| dû = m'ra*(Yæ— yX)du, D il (2) GB = = Ro Merle sl dE Tn Ta Ly du.
La partie variable du second membre de l'équation (11) du n° 2, qui [l Cr Il .
est — = augmentera au bout du temps df de la quantité — d > quine sera autre chose que le double du travail élémentaire de la force perturbatrice rapportée à l'unité de masse de la comète. Nous avons donc
(A) — d= =2m{X de + Y dy);
d’où, en ayant égard aux valeurs de dx, dy, x, y données par les formules (4),
da = 2m'æ# (X dx + Y dy) = - :
(As) Vi—e
— 2m (— X sinu + Y Vi — ei cos u) du.
[— Xy +Y(x +ae)(1—e)]du
On déduit de là, au moyen de la relation ? — à :
(A) do = Sr e7 n(x Sin & — Yi — € cos u) du.
Si l’on se rappelle (n° 2) que # = ÿa(i — e)* représente, dans le mouvement elliptique, le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur, et qu’on peut prendre cos 1, on à
[A res CI Fcosre = Va(nrer), C'——ksingcosx (!),
C'=Kksinpsinzx (},
(6) { M tangie cr?
tango — ul Æ
(1) Voir la note des pages 123 el 124.
Resaz. — Mécanique céleste. 20
Si nous posons, omme au n°39,
p—=tangesine, q—tangycosæ, ces deux quantités pourront être considérées comme étant respectivement égales à sinosinz, sino cos, et nous aurons, en ayant égard à la seconde et à la troisième des formules (5) et à la valeur #= Va(r — e*),
at … Zy du d} == = D — * k Vi—e?
(As, dCi Zz du dg = — =mTr— — [A Vi — et
En différentiant, par rapport aux constantes, la première équation (6), M
en ayant égard à la première des formules (5), on trouve
(1—e)da— 2aede—2m'ai—er(Yz—X}y)du,
et, en remplaçant da par la première de ses valeurs (A, ),
ede=m'y/1—e{(Vz—Xy)(a—r)+Yae[—ex+a(i—e)]}du; d’où, ayant égard aux valeurs (3) et (4) de ret de x en fonction de w’,
A) { de= m'a \1i—e [(Y x — X y) cos u + Yr| du A% | =
= m'a Vie [Y(1—2ecosu + cos’ u)— XV1— esinucosu |du.
Si l’on différentie l'équation r — a(r — ecosu) dans le mouvement troublé et le mouvement elliptique et que l’on fasse la différence des du, on arrivera au même résultat que si l’on avait différentié en faisant uniquement varier les constantes. Il vient donc, en désignant par du la portion de la différentielle de & dépendant de da et de de,
acosu de — (1—ecosu) du L ae sin «
(7) du —
Si l’on différentie de la même manière, par rapport aux constantes, la valeur de sin(v — w) donnée par la quatrième des équations (3), en ayant égard à la troisième, on trouve
( 3) dw =
[sin u de + (1 e?) du | Vi—e(1—ecosu) k
ou, en substituant à du sa valeur (7),
(8!) d—Uz#)da—a(e+cosu)de,
DEN CASTTNTE
Si l’on substitue dans cette expression les valeurs (A,) et (A,) de da, de, qui renferment x, y, il vient
Ce [(Yæz—Xy)(2 —ecosu — cos u) + Yr(e — cosu)] du
m'a ss Ë — Len CR -Xy)(2 —ecosu — cos u) — Yæx(1 —e cosu)] du sin x. l HONG nus ; = ——|Yæsin?u — Xy(2— e cosu — cos’ u)] du Sin « £ m'a ; 2 eu :
==. [(Yz— Xy)sinu — Xy(1—ecosu)] du Sin S :
m'a 7 \ — PNR à:
2, LeY æ—X7y)sinu — XrVi—eæsinu (P72 ; L L
Nous avons donc enfin (A) edo = m'a [(Yx—X}y)sinu — Vi—eXr]du.
Il ne nous reste plus maintenant qu'à calculer la longitude de l’époque. Si l’on différentie la première des équations (3), comme on l’a
fait ci-dessus, c’est-à-dire par rapport à & et aux constantes seulement, on à
de — dw —(1— e cosu)du — sinu de — tdn,
expression dans laquelle il est inutile d’avoir égard au terme -- { dn, attendu qu'il disparaît, dans la variation
n'dt=Ætdn Ed: — dv,
de la longitude moyenne où entre uniquement e. Nous prendrons donc simplement de — do = (1
ecosu)du — sinu de ; si, dans cette formule, on remplace du par sa valeur (7), on trouve { de — (1 — V1 — €) dw HGCOSU EE
— : [(2 — ecosu) cosu —e]edw = sin « de.
VT—e I1—e
Il nous reste maintenant à substituer dans le second membre de cette équation les valeurs de edw, de, que nous avons obtenues plus haut. On trouve d’abord, sans difficulté,
de—(1—V1—e)de (Yxz—Xy)e(i1—ecosu)sinu am! du RÈ Vi — € — [(2 —ecosu) cosu —e]rX Sin & —(2—ecosu — C)Yr ——— Viz &
z En remarquant que (1 — ecosu) — => r se trouvera en facteur commun €
devant X et Y et, en substituant ensuite à æ, y leurs valeurs en fonction de w données par les équations (4), on obtient pour résultat
de — (ï . de — e)dw —.. Sn u re on am du fret et enfin (A7) 35 = (1 = V1 > ei) dw —2m'r(Xx+Yy)du.
On calculera, au moyen des formules précédentes (A,), ..., (A,), les altérations des éléments de l'orbite de la comète par l’une ou l’autre des méthodes connues de quadrature par approximation : 1° lorsqu'on aura exprimé r, x, y au moyen des formules (3) et (4) en fonction de la variable & à laquelle on donnera différentes valeurs numériques ; 2° lorsqu'on aura déterminé les valeurs correspondantes des coordonnées de la planète perturbatrice qui entrent dans les expressions de X, Y, Z, ce dont nous allons maintenant nous occuper.
Soient
x’, y, z les coordonnées de la planète 77’; r' son rayon vecteur Mr;
ù l’inclinaison de l'orbite de la planète sur le plan de celle de la comète ;
à la longitude du nœud ascendant N de la planète mesurée sur ce dernier plan à partir de la Higne des absides de la comète prise pour axe des x;
9’ l'angle formé par le rayon vecteur 7’ avec la ligne des nœuds MN.
DES PERTURBATIONS DES PLANÈTES. 157 Nous avons (')
æ'=r'cosv cos À — r'sinv'sinÀ cos),
(9) y'=r'cosr" sinÀ+ r'sins/cos} cosô,
ASIN SI,
(!) Il est facile de retrouver directement ces formules en faisant seulement appel à la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique.
Soient (fg: 4) #1, N les projections de 2’ sur le plan +y et sur la ligne des nœuds.
Fig. 4.
| 77 = Le ; AN .
/ \v’ Dm ME ro
Le triangle sphérique rectangle formé par les droites M», Mm',, MN donne cos(m', mi) = cosv’ cos(r7, N) + sinv' sin(/x°, , N) cos, coss' = cos(r7',n1)cos (7, N).
En multipliant entre elles ces deux équations, on trouve
tang (7, ,N) = tangv' cos; par suite,
sin» COS À 1 — sin2v' cos20
cos v' V1 — sin?v/ cos? 0
En portant ces dernières valeurs dans la première des formules que nous avons établies, on trouve
sin (2°, ,N) — COS (7 IN)
cos(m',m)— 1 —sin?v'sin29, d'où sin(»',m,)— sine’ sind.
Nous avons donc déjà !
z'= r'sin(/n", mi) = r'sinv'sino.
Si nous remarquons que MN = 7’ cose', m4,N = MN tang(”,,N) = r'sinr' cosd, nous avons, en projetant ces deux droites sur Mx, æ'= rcose’ cos À — r'sinv' sin} cosd.
Pour obtenir 7’, il suffira de remplacer dans le second membre de cette valeur À par — (go° — À), d’où Ps ! ne (RCE) (PEQ / = = y =7"cose sinÀ—+ 7'sinv'cos À cosd.
avec la relation
