EC

| || le (RE) | | CH re HS (e & SE JE ta mn | w| TE m D € ES)

Nous avons done, par suite,

\ 40 = [Æ] 3) 12 2 2 3 r2\2 rt |- CES (er EN rl ) ) 7 2 & 12 \ 3 :

5 ; NL + Sox + yy +as——) +... 7 y

mais, comme nous avons calculé les inégalités qui dépendent du premier terme de cette expression, il nous suffira de poser

72 a 2/2\2 | R=n| en a (ae Lyy'+ 33 — =: ) : | (21) 5 FAN ; | 2e ri (a+ y + sai A ne |:

De là on déduit dR e EN PE Pix), Œx dE (22) { nn 70) 7 1(l) ES EEE dy £ , dR Plon TU miK(P = P':); dz

en désignant par P et P'les fonctions

D 12 ” 12N 2 2 # 3 D ÿ 19 HE 1 PES FE (ue + yy'+ 33 | 7 (2 c'+ yy'+ sa") oo DO) 6 je 1) TN | De . ax! + yy'+ 33 — \ dx! + yy'+ 33 — - ) < \ r ae ME à,

qui sont symétriques en x, y, set en x’, y, 7’.

Substituant, en y faisant = —o, ces valeurs dans les équations (A), (A,}, (A,)}, (A;), (A,) du n° 49, on obtient les suivantes :

C) da = 2mla[P (x dx + y dy) + P'(z'dx + y'dy)]; ( ( Die Je

pe LA a Vi EN Là 3 du Vie (G) -l D/ T CS) dq == mm > du ; Vi e°

(C;) de —-m'aÿ: — e[P'{æxy'— yx') cosu +r(Py+ P'y')]du; (CA) Me To m'a| P'(xy — yæx') sin u — IVe (Par P'x')] du ; (CA) de —(1— Vie) do —2m'r[P(x+ 7?) + P'(xx!+ yy!)] du. En avant égard à la première des formules du n°49, les équa- 3 D I tions (C;) peuvent se mettre sous la forme suivante :

j ms 0Pe 7 dp = dt, | 7 Va(i—e?)

(10) ; m xs!P'

| Ag =

du.

| Va(i— €)

Nous avons aussi, en vertu de la quatrième et de la troisième des mêmes formules,

ayvi—e cosudu= dy, asinu du =— dx

et, de plus,

dy =ydr=Vath—e)dt=a\u1=erdu, et les équations (C,) et (C;) peuvent alors s'écrire ainsi

(C3 de == m'[P'(xy'— yx!) dy + (Py + P'y1) (x dy — y dæ)],

EU) edw = m'[P'(yx'— xy')dx + (Pæ+P'x!) (y dx — x dy)].

Enfin, en remplaçant, dans l'équation (C;), du par sa valeur en fonction de de, il vient

(CL) (ir Viet) do Cna, [LPC MP rEEyH)] de,

Si maintenant on fait, dans les formules (C), (C,}, (C,), (G;), (C:),

D AICOS M ASINE, a(i—e?) ; AU CE RER = : :

I+eCosr 1 + 6 COS(P'— w')

puis que l’on remplace x’, y’, =’ par leurs valeurs (9) du n° 49, en observant que l’on a

(24) Pdo=Nate cdi, red Ne tdr,

on voit que les expressions ci-dessus des inégalités de l'orbite cométaire pourront se développer en une suite de termes de la forme

m'Jcos(ie Er Æ7)dr.

Comme, dans la portion de l'orbite que nous considérons, le mouvement de la comète est relativement lent, ze pourra, en général, être négligé devant w, et alors les intégrations pourront s'effectuer. Toutefois on peut tenir compte approximativement de we’ en opérant comme 1l suit.

Des équations (24) on déduit

12 s 3 TA a(i1—e*) dep = — : NS 72 are)

et l’on est ramené à considérer l'intégrale

Me : : , (25) f = cos(ie + c'e + y) ds".

Mais on a

LICE (1+ecosv})?

et [1+e'cos(r — w')[?

Te (26) ie