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ResaL. — Mécanique céleste.

Soient R, R, les deux rayons vecteurs aboutissant aux points (x, 7,5). (æ,,71, z,) des deux ellipsoïdes, et accentuons ces lettres pour représenter les quantités ci-dessus qui se rapportent aux points qui corresondent aux précédentes; nous avons

! [el leu # 0

BTE a 2 9 à Re nn Nr Ta = at RE; Î là ! Le re RR; cos(R, R)= 2, +yn + = xx + gi Pen à # % b | 1

= 22 yet ecos (RER)

3° La distance de deux points appartenant respectivement à deux ellipsoides homofocaux est égale à celle de leurs correspondants.

En effet, d’après le premier théorème, on à

R°—R?—R?—R:, d'où

Rè+ R?=— R?+ Re et, par suite, en vertu du second,

R?+ R?— 2RR, cos(R, R;)= R°?+R2— 2R'R cos(R!, R,).

Remarque. — Concevons une couche infiniment mince terminée par deux ellipsoides semblables et une seconde couche ellipsoïdale dont les surfaces soient respectivement homofocales de celles de la première ; on reconnaitra sans peine que ces deux dernières surfaces sont semblables entre elles et que le rapport de similitude est le même pour les deux couches. Si l’on considère, dans la première couche, une surface ellipsoïdale semblable à celles qui la terminent, il existera, dans l’intérieur de la seconde, une surface homofocale avec elle et semblable à celles qui limitent cette seconde couche. On conçoit dès lors ce que l’on doit entendre en disant que tout point pris dans l’une des couches a son correspondant dans l’autre.

4° Les portions de volume de deux couches homofocales infiniment minces à surfaces respectiwement semblables, limitées par des contours dont les points sont correspondants, sont entre elles comme les volumes de ces couches.

Car, en décomposant les portions des deux volumes en parallélé-

pipèdes élémentaires dont les sommets soient des points correspondants, le rapport de deux parallélépipèdes correspondants est exprimé par

dx dy ds ap

dx’ dy'dz! ; CACHE

65. Le probleme de l'attraction d'un elhpsoide homogène sur un point extérieur se ramene au cas où le point est situé sur la surface extérieure d'une couche infiniment nunce, terminée par deux ellipsoides semblables.

Comme on peut supposer l’ellipsoide décomposé en couches infiniment minces, terminées par des surfaces semblables à celle qui limite le corps, il suffit de chercher à quoi se réduit l'attraction de l’une de ces couches sur le point attiré.

Concevons que l’on fasse passer par le point attiré + un ellipsoide limitant extérieurement une couche homofocale de la proposée et ayant la même densité. Soient

m' le point correspondant de »2 sur la couche proposée ; ds’, dy deux éléments de volume correspondants pris respectivement = dans cette couche et dans son homofocale :

r la distance de 77 à de’ égale à celle de 77° à dv; on à de! ag"; don aG

et, pour le potentiel relatif au point x et à la couche proposée, en laissant de côté le facteur 7,

HA RC EE GC EE ne er