IV. — ATTRACTION DES SPHÉROÏDES

12: Équation aux différentielles partielles à laquelle satisfait le potentiel. — Reportons-nous au n° 54, en continuant à désigner par V le potentiel de l'attraction exercée sur un point matériel 2 par les masses élémentaires #2’, m”, ... d’un corps.

Nous avons trouvé que les composantes de cette attraction

__ dV EP PE En LS ME, x . = RO 1= = = = RS L'REs <) mais, si l’on remarque que HU al} + O V'P+(s 273,

on a ŒV : Ho Gr .m - = HMS ) MS — ) dx? pe 1 Œ@V , (= 00) m — —3msS C — ) OS = dy? 7 r3 LENS EU EEZ à) mm!

— —3mns =: ms dz> di 7% 73 ?

, \ d'où ŒV ŒNV d'V (1) TES —= 0}

Telle est l'équation cherchée qui est applicable à tout point ne faisant pas partie du corps attirant, puisque, les distances 7 ne pouvant être nulles, les différentielles premières et secondes de V restent finies. Mais, sil’on considère la matière comme continue, c’est-à-dire comme remplissant complètement toute portion de volume d’un corps, quelque petite qu'elle soit, la formule (1) ne peut plus s’appliquer au cas où le matériel » fait partie du corps, puisque, pour les molécules contiguës, les r, (&œ— x'}, (y—y'), (3 — 7) sont nuls, et que les parties cor-

mn? Ê :\ I , respondantes des différentielles premières et secondes de = se présen-

tent sous une forme indéterminée. En considérant ce cas, concevons une sphère enveloppant le point attiré »2 et dont le rayon soit assez petit pour que la matière qu’elle renferme puisse être regardée comme homogène. La portion de V, relative à la masse du corps, extérieure à la sphère, satisfera à l'équation (r).

En désignant par «, $, y les coordonnées du centre de la sphère, on a (n° 57) pour les composantes suivant Ox, Oy, Oz de l'attraction qu’elle exerce sur 1,

—+rmp(x —a), —{rmp(y —$), —irmp(z—}Y),

dont la somme des dérivées partielles prises respectivement par rapport à æ, y, z est — {rmno. On conclut de là que, dans l'hypothèse actuelle, V satisfait à l'équation aux différentielles partielles

ŒV —— CAM + CAVE — Arm dx? dy? dite | Ês

Substituons maintenant aux coordonnées rectangulaires un système de coordonnées polaires, et soient a la distance du point » à l’origine O prise dans l’intérieur du corps attirant:

0 l'angle formé avec Oz par le rayon vecteur a; o l’angle du plan m0: avec le plan x Oz; a’, 0, s’ les valeurs analogues à a, 0, & pour un point »' du sphéroïde.

Posons de plus D COS0, MH COS 0

L'élément de la surface de la sphère ayant son centre en O et pour rayon l’unité, déterminé par un cône d’une ouverture infiniment petite dont O est le sommet et qui comprend 77’, a pour expression

dw' — sin’ d6/dw!, de sorte que, en appelant p’ la densité du corps au point 7»#’, on peut prendre

m'=p'a°?dw' da! — — p'a? da! du! ds.

Nous aurons done, pour le potentiel du point attiré,

27 1 112 1 Ve. de f du [ES 0 #1

en faisant abstraction, pour simplifier l'écriture, du facteur », ce qui revient à ne considérer que l’accélération due à l'attraction. Si l’on remarque que