EN
dx 2 y changeant Ÿ en = — ‘b. En ajoutant, on obtient d2V ” Che : à dN I dV (C) dx? dy? ( og da? Fæa — pu?) d?
| RÉCE E) NNEUIE et av av RTE ) dV.
a2 dy? A Lo a du.” Nous avons maintenant da 3 dy du 7 ; es 2, & a dE Mr UT). à :
da I à : LD BY GA à 3(TÈ+ v2)z | 3u(1— 12?) dz? SAS DR 20 di LAS aÿ AE |
Au moyen de ces valeurs, l'équation (A) permettra d'obtenir l'expression de Ta
l’ajoutant à (C), on obtiendra l'équation (3) du texte.
31et en
206 CHAPITRE Il.
73. Développement en série de l'attraction d’un sphéroïde sur un point. — Nous supposerons que le sphéroïde est entièrement compris dans la sphère ayant le point O pour centre et On = a pour ayon; s'il n’en est pas ainsi, nous ne considérerons que la portion de sa masse comprise dans cette sphère, de sorte que a’ sera au plus égal à d.
dE LS Si nous désignons par à l'angle 207, nous aurons
I I 2 a! Gi Pont Cr es L D a a
Reportons-nous au Titre V de l’Introduction en y faisant v = À, 0 — à, et, permutant entre elles les lettres a et a’, nous verrons que le dévelop-
I Re ; 0 .
pement du facteur de =» en série ordonnée, suivant les puissances ascen-
a : : Fo dantes de — estencore convergent, lors même que l’on atteint la limite
7 = 1. Nous n'avons donc plus à nous préoccuper de la question de convergence, quelque soit le procédé employé pour arriver au développement dont il s’agit.
Si l’on fait maintenant usage de la formule du binôme, il est maintenant manifeste que, dans le développement de
2 a — , | y 1 42) Leu + Vi né Vin cos(s — 5')| +
Cu
: 710 : b. 3 le coefficient de P, de (£) sera une fonction entière et rationnelle
du cosinus p=pR+Vi-pVi-n?cos(m — x),
% [+] UE 'p a" TI "a+?
Y= 10 2 | ET 11 Fe ! (4 Lylv+2 \ =\ Ho de | P, du! fé'a da.
ne , nm * EL # 21 r 7 Si l'on représente par Y, le coefficient — dans le développement de V,
et nous aurons
CALCUL . DE L'ATTRACTION DES CORPS. 207 on aura 27 1 :
ds’ [ P, du! [sad
En substituant le développement de V dans l'équation (3) et égalant à ; ; n : 1 :
zéro les coefficients des différentes puissances de => on trouve que Y,, fonction entière et rationnelle de y, V1 — n°? cosw, Vi —u?sins, satis-
fait à l'équation aux différentielles partielles
| | IY, PY
Ut
dy. dy. | 1 — 2 du°
à laquelle satisfera également P,, puisque cette fonction n’est autre chose que ce que devient Y, quand le corps attirant se réduit à un point. Nous donnerons à Y,, dont nous donnerons plus loin l’expression, le nom de fonction sphérique de l’ordre v.
Supposons momentanément que l’on fasse coïncider Oz avec On: nous aurons = p; w’ deviendra l'angle qg formé par le plan »'Om avec un plan fixe passant par Om. La formule (2) peut ainsi se mettre sous
la forme
a 2 a A VE | dq [a da! —— p'ap < Vai— 2aa'p + a?
on déduit de là, pour la composante de l'attraction suivant Om,
De AT Ne dp Pr 1 dq [ «da | ge :
Me à
et cette intégrale devra être prise entre les limites de p qui correspondent à a’ et g; comme les radicaux qui y entrent sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de
L quand même ce rapport atteindrait l'unité, on voit que la composante, suivant Om, de l'attraction peut se développer en série suivant les puissances ascendantes de . et que, pour obtenir l'expression, il suffira de différentier, par rapport à a, la seconde des formules (4). Pour la portion du sphéroïde extérieure à la sphère du rayon a, le a , 7 N , PS. , rapport — étant au plus égal à l’unité, on pourra développer r°' en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de ce rapport, et l'on aura
; LA Cr —.
P, représentant la même fonction que ci-dessus. Désignant par Y," le coefficient de a”, qui sera une fonction sphérique de l’ordre v, on aura
RO [r TIRE (6) #4 "A |
} 0 DT | e/
On s’assurera, de la même manière que plus haut, que la dérivée par rapport à a de la série qui représente V est convergente. Le potentiel dû à l'attraction du sphéroïde total sur le point 72 s’obtiendra en faisant la somme des deux valeurs de V données par les équations (5) et (6).
Les corps célestes affectant des formes peu différentes de celle de la sphère, nous sommes conduit à chercher ce que deviennent, dans ce cas, les formules que nous venons d'établir. :
74. Attraction d’une couche homogène infiniment mince terminée par deux surfaces sensiblement sphériques sur un point de sa surface extérieure. — On peut considérer l'attraction d’une pareille couche comme étant la différence géométrique de celles qui sont dues à deux autres couches limitées intérieurement par une sphère intérieure à la couche considérée, mais qui en est infiniment voisine (sphère à laquelle nous donnerons la qualification d'auxilaire), et
d'autre part et respectivement par la surface extérieure et la surface intérieure de la couche considérée.
Supposons, par exemple, que la fig. Q représente une section faite dans la seconde des couches fictives par un plan passant par la droite qui joint le plan attiré 72 au centre O de la sphère, 2 étant censé très voisin de la surface extérieure de cette couche.
Soient
A le rayon de la sphère ;
ñ, n° les points où la droite O x rencontre la surface extérieure et celle de la sphère ;
a la distance Om;
e l'épaisseur très petite 27’ de la couche en x’;
2 la densité de la couche;
ma, ma, les tangentes menées du point #2 au profil de la surface extérieure, les contacts ayant lieu en a et a;;
Fig. 9.
mb, mb, les tangentes pareilles menées à la circonférence intérieure, rencontrant la courbe ci-dessus en x, b et «,, b,, les points de tangence étant a’ et a;
à l'angle formé avec O7 par un rayon quelconque #4 compris dans le plan de la figure, rencontrant en p et g le profil de la surface extérieure et en p', g celui de la sphère.
D'après ce que nous avons dit au n° 66, le segment (bam, b,a,m) n’exerce aucune attraction sur 2 suivant AO, et, à plus forte raison, en est-il de même de la partie (bax, b,a,x,) de ce segment.
La composante suivant n0 de l'attraction du segment (a'424,4@,) peut
Resaz. — Mécanique céleste. 27
ètre considérée comme étant la différence de celles que produiraient les segments (ama,), (zm2,), et, d’après le numéro précité, on a, pour cette composante,
arp(mn! — mn)—=2nve.
Considérons maintenant le segment (a’bb, a) et appelons & la longueur gg’ et dw l’élément sphérique mesurant l’ouverture d’un cône élémentaire issu de #2 et tangent à mg; la composante suivant mO de l'attraction de ce segment sera
e fu do cos,
et l’on a, par suite, pour la composante de l'attraction totale,
dv
rl p fu Cosè dw + 27pe.
da Ù
On n’a pas à tenir compte du potentiel dù au segment (a'xz, a), attendu qu’il est du second ordre. | En ce qui concerne le segment (a’bb,a;), Le potentiel a pour expres-
