CE

et, si l’ellipsoïde est de révolution autour de l'axe OZ ou sie — +’, 3—e+p?(e"— :),

78. Propriétés caractéristiques des fonctions Y,. — Si Y,, Y, sont deux fonctions sphériques d'ordres distincts, on a

27 1 (f) Î de f. MAUR 0 a) — 1

En effet, en multipliant l’équation (5) du n° 73 par Y, d5 dy et intégrant par rapport aux variables y, 5, il vient

: SSSR LEE RUN. ! d\, 22 CEMR Co dy.

VO HI) S Y,Y, du du = — ff EE um?) 7 do du. — [ [ Y, FR EC et l’on a de même

’ z rod __dN ŒY, di dy.

ÿ (v'+ 1) Ye Y, deds ==) Era = us — [SY, CN rs ue? d’où, par différence, | Loto +) — (+ D) SX, Y, du dy A ei) dY . & Ge — — y (1 pi : À u? = | di dy.

(£ LA 7 [| Le pris br) dy. L EN Fe dis APE | ff f(x d Y Tr d2 5) dis cu \ dr? da? | 1—p?

Oron a y d ed; ÿ d AA ARE nn dY,. Le fi F PA br) dy. Ê Fa be) du a Co Cm ie,

expression qui s’annule entre les limites — r et +1 de y, et

[ (x æ ! Ne Ti) He Ve dY, Caÿé dY,

do? ds? do "do

résultat qui s’annule aussi entre les limites o et 27 de 5; car, d’après la forme entière et rationnelle des fonctions Y,, Y en cos et sins, ces fonctions et leurs dérivées, par rapport à 5, reprennent les mêmes valeurs pour les deux limites. Si donc v est différent de y’, en se reportant à l’équation (g), la formule {f) se trouve établie; mais, siv— y, les deux membres de cette équation étant nuls, on ne peut pas conclure que l'intégrale du premier membre de cette formule est nulle, et elle a, en effet, une valeur déterminée dont nous chercherons plus loin l'expression.

De la même formule (f) on déduit comme conséquence

27 1 (12) fl Ydu—0, 0 1

lorsque v est différent de zéro, puisque l'unité satisfait à l'équation (5) du n° 73 et qu’elle n’est d’ailleurs autre chose que P, ; on remarquera

que l’on à 27% 1 f du | Pour.

79. En désignant par Z, ce que devient Z, (n°77) lorsqu'on y change » en p’, o en w’, et remplaçant z’ par son développement = — X7,,

dans la seconde des formules (11), on a simplement, en vertu de la formule (4),