Y HI

(13)) lb, = a il du | LP GE “ES 0 1

ar P,, étant symétrique en g et w’, s ets’, est une fonction sphérique de l’ordre y en y’ et 5’.

80. Pour un point extérieur suffisamment éloigné du sphéroïde, on

doit prendre WW = 26 re ide) 122

et, d’après la première des formules (a) du n° 77, on a

27 #1 Ne DAS [ da | P,s du

0 Ces

ou, en remplaçant = par XZ,, 27 +:

VE pass [| dt pa

ou encore, en vertu de l'équation (13),

Il vient donc, pour l'excès sphéroïdal,

(14) V— 474? ru

a'tl av +i et, pour le sphéroïde entier,

à A’ L 15 V— ip + {non se:

(5) me 4m) 2V HI 81. Des fonctions X,. — Désignons par r la distance au point

d’un point 7’ de Oz dont la distance a’ à l’origine est inférieure à @. Nous avons

2 - Lee Ge , Nous désignerons par X, le coefficient de (£) dans le développe-

ment du second membre de cette formule. Il est évident que la fonction X, n’est autre chose que ce que devient la fonction P, quand y fait 8 —0. La première de ces fonctions satisfait donc à l'équation

déduite de l’équation (5), en y supposant Y,— P,—X, et en y supprimant les termes dépendant de 5.

Resaz. — Mécanique ecleste.

Si X estune fonction semblable à X,, mais d'indice différent, on a

PA | | X,X, ds. ==) CE cette propriété résulte de l'équation (g) en y supprimant] l'intégration et Les dérivées qui se rapportent à s et remplaçant respectivement Y,, YhperX et Are

82. Simplifications que l’on peut apporter dans le développement en série de l’attraction d’un sphéroïde peu différent d’une sphère sur un point extérieur. — Supposons que l’on prenne pour origine des coordonnées le centre de gravité O du sphéroiïde et pour la sphère celle qui lui est équivalente en masse ou en volume. Le volume du sphéroïde sera, en ayant égard à la seconde des équations (rr),

27 = 27 ï TT AS + A$ (l ds! ( s'du=— £a + 4 1 ds' L,du'= {+ra+uraiz;, Je 0e J, SANS d’où Z, = Z, = 0 d’après l'hypothèse admise.

La fonction Z, est, comme la fonction P,, une fonction linéaire de sinbcoss, sinbsinw, cosÿ, sans constante indépendante, c’est-à-dire qu'elle est de la forme

Zi. =2sin0 cos + $ sin coss + y cos0, 2, P, y étant trois constantes. On peut d’ailleurs s'assurer que chacun de ses termes Satisfait à l'équation (5) dans l'hypothèse de v=r, Y,=Z,, après avoir remplacé cos0 par y et sinô par ÿ1 — u?. Nous avons, par suite,

(A) Z, = asin0'cosw' + $sin0'sinw’ + y cos0'— = (az + neo),

en désignant par y, n, € les coordonnées parallèles à Ox, 0y, Oz d'un élément de masse dr" de l'excès sphéroïdal, correspondant aux angles Ohetn-

Pour que le point O soit le centre de gravité du sphéroïde, il faut naturellement qu'il soit aussi celut de lexcès sphéroïdal ou que l’on all