JAN = 0, MN ANTE= 0, MICAMESS

| CALCUL DE L’ATTRACTION DES CORPS. 219 .il vient donc, en multipliant l'équation (k) par

dm'= — p4°:'d5w'dy' et intégrant,

07 ll ; ; I .

— 420 f ds’ f Z,z'dp'= -(afy dm'+ 8 fn dm'+ y; $ftdm')=0o. V0 —1

L'intégrale du premier membre de cette équation (n° 78) se réduisant à la suivante :

à 27 [l / r7!° fl LT D D D f def deep, 0 e = |

étilfaut, pour qu'elle Soit nulle, que l’on ait x —0, £ = 0, y — 0.

Ainsi la double hypothèse que nous avons faite permet de supprimer les deux premiers termes de la suite des fonctions sphériques qui représentent =.

83. Réduction des formules relatives à l’attraction sur un point d’un sphéroïde homogène peu différent d’une sphère. — Nous désignerons par p la densité du sphéroïde.

1° Le point attiré est extérieur au sphéroide.

La sphère du rayon 4 donne lieu au potentiel

Considérons maintenant l'excès sphéroïdal auquel les formules (4) du n° 73 sont applicables en y faisant +’ =: 9 et a°*?= 1"*?; nous aurons

d’abord |

2% il VE A0 f: ds! [ 10 dat f de 0 CR 27 1 2 27 | A ef de [ PAGES e [ da | P,Z, du 0 = 0 = il

ou, en vertu de la seconde des formules (11),

La seconde des formules (4) donne par suite, pour le potentiel qui: se rapporte à l'excès sphéroïdal,

3 » A5 L ai N v+i 1 (16) Vi rp +48 Ÿ (5)

Soient

mM la partie de la perpendiculaire en #2 à Om, comprise dans le plan zOm, dirigée dans le sens de l'accroissement de 6;

mT la partie de la perpendiculaire en ce point, menée au plan cidessus, dirigée dans le sens de l'accroissement de 5;

R, M, T les composantes d’une force quelconque agissant sur 72 suivant Om, mM, »T, cette force étant censée dériver du potentiel V.

On a, en égalant entre elles deux expressions du travail élémen-

taire de la force, dV =Rda-+Ma dt Tasin0 dx;

d’où ZAM AY Re 1 dV (52 Le. M= 7: Nr ds

Dans le cas que nous étudions, nous avons, en vertu de la formule (16),

| ; A ENCE à Y£ RE Te ro D (NE = Et a 4 ï ( ) a 2V + r° re Ar I dZ, (18) M— 4x — "

a a 2y + 1 dû

At AAC J GE,

T= 4m NN ) asin %\a, 2V+1 do

° Le point attiré est intérieur au sphéroïde. Le sphéroiïde peut être considéré comme formé de deux parties dont l’une est la sphère qui passe par le point attiré 7». Pour éviter toute confusion, nous placerons «& entre des parenthèses lorsqu'on ne devra

pas différentier, par rapport à cette constante, le potentiel pour obtenir la composante de l'attraction suivant Om. La sphère du rayon « donne le potentiel

| il

(a) CG Supposons d'abord que l’on ait a <<4; la couche sphérique ayant pour épaisseur (4 — a) ne donnera qu'un potentiel constant et que l’on

peut supposer nul. Pour obtenir Le potentiel de lexcès sphérique, nous appliquerons les formules (6) du n° 73, qui donnent

27 1 > ar 7 : p p A?

| JU — { ds’ / Pda { de! | Pau (8) à 4° 0 PE À Jo ="

.s (1) lv = NE,

On déduit de là, en ayant égard à la seconde des formules (11),

(4) O À Fe 4 TR) 4 \

NUE [ do! PrTaUE —

CON L V 4x Ÿ (2) ’ À ONECSr

(19) V=éne(a) 2 + émpat À (£) ee

Admettons maintenant que l’on ait & >> 4, le potentiel se composera de lexpression (x) augmentée du potentiel dû à l’action de la partie du sphéroiïde extérieure à la sphère de rayon a, potentiel dont nous allons maintenant nous occuper.

Plaçcons-nous momentanément à un nouveau point de vue en prenant pour sphère de comparaison celle de rayon (a) et représentons par (a)(1+u)=(a)(r +ZU,) le développement en fonctions sphériques du rayon vecteur de la surface du sphéroïde qui correspond aux coordonnées angulaires & et (.

La première des formules (B) recevra ici son application en y rempla-

çant À par (a) et Z’ par w'. Nous aurons ainsi

PRES 2% AA L 2 : JA TE i HU, CUS M'A LEE f do’ / jp dy! M hre &} te 7 —0

(OR (a) 2v+1 AVE ER

par suite, pour le potentiel dont 1l s’agit, AR ON EU, port Vi) cu 2V HI û

Mais de l'identité

ou A(THEZ)—= (a) (GE EUr,

on déduit, aux termes du second ordre près, comme nous avons con. tinué à Le faire jusqu'ici, A—(a) à Lez A et = 7'0poue = 0;

il vient donc

| É GANT (20) V = — brel(a) —a)}a+ great Ÿ (x) EN

d'où, pour le potentiel total,

? Ge x l Ai GANT RS

OI VE Ta) Tp A? —

(21) 3 TP(a) = +ér D a

en faisant abstraction du terme en [(a) — À ], qui ne joue aucun rôle dans l’estimation des composantes de l'attraction. La formule (19)

s'applique donc sans restriction à l'attraction du sphéroïde sur un point intérieur.

84. Attraction sur un point intérieur d’une couche homogène peu différente de la forme sphérique, quelle que soit son épaisseur. — Soient A(1+2Z,), AM(1+2X7Z") les rayons vecteurs des surfaces extérieure et intérieure de la couche correspondant aux angles 9’ et 5’. Nous remarquerons que l’on a, aux termes du second ordre près,