A(+H 22) =A(+ 2 +52) =AG
ou simplement A(1 in 2; Zi};
en substituant 4 à A(1 + Z,).
Le rayon vecteur de la surface intérieure peut de même être considéré comme se réduisant à A0 {(1+ 2,21).
Comme le point »2 n’est pas influencé par la couche sphérique dont les rayons sont 4, 4°, la force attractive qui le sollicite ne peut résulter que de la différence des potentiels qui se rapportent aux excès sphériques extérieur et intérieur ou de
Pour qu’un point quelconque situé dans l’intérieur de la couche soit également attiré de toute part, il faut que V soit indépendant de @, 5, 0 ou que
Si la surface extérieure de la couche est elliptique, Z se réduit à Z, (n° 77), en faisant abstraction de Z,, conformément à ce qui à été dit plus-haut; 2Z) se réduit aussi à Z°”, et l’on a
ou A(IHZ) 24 AU (I+H ZE) NO
Les surfaces extérieure et intérieure de la couche sont ainsi des ellipsoides homothétiques, ce qui est conforme au résultat obtenu Ann 0
85. Attraction sur un point d’un sphéroïde formé de couches homogènes peu différentes de la forme sphérique, mais dans lequel la densité varie d’une couche à une autre, — Nous con-
tinuerons à désigner par a = Om, 0, © les coordonnées polaires du point attiré 2 relatives à l’origine O.
Soient r — A(r + 2)le rayon vecteur déterminé par la direction de Om, de la surface intérieure (5) de la couche dont la densité est p; z— 27, la suite de fonctions sphériques qui représente z, la fonction Z, pouvant dépendre de 4.
1° Le point attiré est extérieur au sphéroïide.
Pour un sphéroide homogène limité par la surface (5), le potentiel serait (n° 83)
En faisant varier le rayon vecteur r d’une quantité infiniment petite, on déterminera une couche homogène limitée par. la nouvelle surface (6,), et le potentiel auquel elle donnera lieu sera la différentielle par rapport à 4 de l'expression précédente, ou
Lx A? 0) pda +4 ) ——— d(A SZ).
(2V + 1) art
Revenons maintenant à la réalité, et supposons que la couche élémentaire ci-dessus appartienne au sphéroïide hétérogène; o sera une fonction de À, et, si l’on désigne par 4, la valeur de 4 qui se rapporte à la surface du sphéroïde, nous aurons pour le potentiel cherché
2 un 1 (23) NES pa? da + hr ) RS 1 D C(CAVEE, 77) 0 e40)
(EME En:
2° Le point attiré est situé dans ! intérieur du sphéroide.
Pour la portion du sphéroïde limitée par celle (5,) des surfaces (6), qui passe par le point 2, on appliquera la formule (23), dans laquelle on remplacera 4, par (a), conformément à la notation admise au n° 83.
Considérons maintenant l’autre portion du sphéroïde. Si le sphéroide limité par la surface (6,) était homogène, on devrait lui appliquer la formule (19) : en donnant un accroissement infiniment petit à 4, on déterminera une couche élémentaire homogène pour laquelle le poten
CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS. Do
tiel sera la différentielle par rapport à À de cette même expression ou
a’ Z, fe d ne D 2V +1 p re
En revenant à la réalité et supposant que la couche élémentaire appartienne au sphéroide hétérogène, on aura, pour le potentiel cherché,
v L Z, — / T * [ re] : 9 (24) M DS 2v eat), pd (2)
A étant le rayon de la sphère de comparaison sur laquelle se trouve le point attiré.
En se reportant à la formule (23), le potentiel total sera
(25) Te
En 0) A R a” > Z, f 0 ren | + ÿ en) sd( 53)
La composante de l'attraction suivant On sera donnée par
AY ua [ A ÿ SET 18 De.
ee ASE Ÿ D d\(LAES7; da CN ue “Là (av +H1)a” Sen Hi ”
ou, en remplaçant & par A(1+2XZ,) dans le premier terme et par 4 dans les deux autres,
= T de ï be Y—HI En Ses ne 152) [ed CM dl 0 71)
SR fu(e)
84. Détermination de la forme générale des fonctions P, et X.. — Dans tout ce qui précède, nous nous sommes servi de ces fonctions sans nous préoccuper de leur détermination. Nous allons chercher à arriver à la forme sous laquelle elles se présentent, en employant la méthode de Jacobi, qui est la plus simple et la plus élégante de celles qui ont été proposées jusqu'ici.
Resa. — Mécanique céleste. 29
Nous prendrons pour point de départ l'identité
da : L),
y) ARR CT , A+éBcos:+iCsinz
(1) Si, #2 et x étant indépendants de +, nous remplaçons sinz et cosz par leurs expressions en exponentielles imaginaires, nous aurons
j L dz 12 da æ— — 9; = FANS: = \ 1 + nn C03% + in Sinz D DER NURE)ER e EURE d)
ca dr
ei ( ju mn) 2er Ein — 1)
ei de
FA VTT : 1e ?
(éme + 1) | ext - RAR es LES DE 1 im + 1 : im Ru / ai |
e CUS ER = à 2 D Ver 72 În + 1 = = Fo nr e + | —— — jet] da.
an +
Vive HE VIE ME
Mais nous avons, en développant en série,
an” 1 nr 2 2 112 ar Vi+m+n jeu ( Vi ao LE nl ) us
rà / 2 2 1 — y 1 + 2? + 2 er UNE +:
DIIDEEUTE x Un It an +
g ne En = IL Vi+nmè+ un?) .
NL = # CA 4 ün + 1e
Dans le produit de ces deux séries, au point de vue de l'intégrale J, nous ne devons conpuisque les termes dépendant des puissances de donneraient, par l'intégration,
un + un + à
E TE TE 1+Vi+m+n Dar CE
sidérer que les termes indépendants de 2, ei, transformés en sinus el cosinus d’angles multiples de +, des résultats nuls. Dans ces conditions, le produit dont il s’agit se réduit à
PTT ET R RT R Qi 9 mure I—Vr + mn + 72 Lea
1 + | —— I+Vi+ni+ a, 1+Vi+nè+ re / ES a — 1—Vi+nè+n 1 VE TETE ={}i ——— - = EE , 1+Vi+ ne + 2 Vi + 2 + 12 On à donc J 27 cé dz acné Ji 1+incosx+éasinc B Û =, on retombe sur la formule du Lex'e.
Si maintenant On pose 71 = NUE
dans laquelle x représente En et À, B, C des quantités indépendantes de la variable +.
Nous rappellerons que P, est le coefficient de #” dans le développement J
(B) E = : nn => DA fe Vi-—24[cos0 cos0’ + sin6 sin0'cos(® — ©’ )| + #2
de l’inverse de la distance des deux points dont les coordonnées polaires sont #, 0, 5 et 1, 0’, &’. La quantité sous le radical est donc la somme des carrés des différences
À = cos0/ — X cos0, B =sin0' cos’ — kÆsin0 cos®,
C —=sin0/sins! — ksinô sin
des coordonnées rectilignes de ces points; Les premiers membres des formules (+) et (6) devenant identiques, on a, en égalant entre eux les seconds membres,
