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1 da 27 Ju COS0 + SIN 0 Cus(u) 152) — A[COS0 + cs.n0 cOS(S —2)]
Si l’on développe, suivant les puissances de #, le second membre de cette égalité, et si l’on identifie de part et d’autre les coefficients de #”, on frouve
En) pl [cos0 +rsin0 cos(m —)["[cos0'+ isin0"cos(s'—2)]" (+0 qu, 27H û he F
Soient
| [cos0 +- rsin0 cos(s — 2)]"
—=X,+2X{rcos(m— 1) —2X!?cos2(m — 2) + 2X 08); cos3(m — 2) —...,
[cos + ssin0'cos(æ'— 2)]-(#1) =X;+2X,0) :cos(m — 2) — 2 X 0) cos2(m'— 4) +2 X' {cos 3(m/— x) —…
les développements suivant les cosinus des arcs multiples de (5 — *), (s'— ) des deux facteurs qui entrent dans l'intégrale précédente : on remarquera que le premier de ces développements est limité au terme
en cosv(m — x); le second, au contraire, est indéfini. En effectuant la multiplication des deux développements, puis l'intégration entre les limites &« — 0, «x = 27, on trouve
() P,=X,X,—2X{ X M cos(m —w').+2X{? XP) cos2(mù —w') —....
Les fonctions X/”, X,” de 6 et 9’ sont identiques à un facteur numérique près; Car, SI on Ra l'expression (6) suivant les puissances ascendantes de cos(s — &'), les angles 0 et 0’ entreront symétriquement dans les coefficients de ces puissances, par suite dans ceux du cosinus des multiples de (5 — 5).
Pour 4 — 0, la formule (y) donne, en ayant égard au premier des développements (à),
[ [cos0 + rsin0 cos(æ — 2)] da = X,,
et l'on voit, par suite, que X, est le coefficient de Æ’ dans le développement de
(1— 2kcos0 + A?) ?;
en d’autres termes, X, n’est autre chose que le type des fonctions que nous avons considérées au n° 81.
En supposant 0 — o, on trouve de même P,= X,, et X, est ainsi le coefficient de # dans le développement de
Lu
(1— 24 cos0/ + X2) ?
donc les deux fonctions X,, X,, l’une en 9, l’autre en 0’, sont identiques.
Si nous posons COS SIN
nous avons
24(C0$0 + z sin0 cosa) = s[2pu + rsin0(eri + e-“)]
d’où
(£) [Cu +s)}— 1] (25) (cos0 + rsin6 cosx)
Le \
CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS. 220 et, en vertu du premier des développements (3), en y remplacant 5 — x par c, 25) (X, + 2 X{1)z cosa — 2 X!2) cos2a —...)
2 ZX, Je x) Lei — RUPENE PAUDENTE + JE DU En — AUDE AMC Fe )
=) = is + LA] = fe=s < Î OMR
À 3 oc) NN NU NE Ki) ai C HU CEE SIT sins0 N — XMsinô3-1+ X(2)sin?03-2= X!3) sin80 3-31... | :
D'après une remarque faite plus haut, ce développement n'a qu'un nombre limité de termes et le coefficient de (23) s'arrête aux termes en #’et 7; d’où il suit que ce même développement est une fonction entière de z.
Les fonctions X}” ne renferment que y, et le coefficient de 3° a
pour valeur (mn) — ANS
SL Ca ( =)
Mais, en développant [(u + z)*— 1}, suivant les puissances de z, on trouve que ce coefficient a aussi pour valeur
I dm (2 — 1)
