l^é>nousti*ation asccudaute et descendante. — Oq

distingue deux sortes de démonstrations en géométrie : la démonstration ascendante et la démonstration descendante. Cette distinction se ramène à la distinction de l'analyse et de la synthèse.

382. Du rôle des axiomes et des définitions en mathématiques. — Dugald Stewart a établi que les véritables principes du raisonnement mathématique sont les définitions et non les axiomes. Sans doute, les axiomes sont absolument nécessai-

-tôS LOGIQUI.

res. Ils sont ^condition, les vinenla au raisonnement; mai? par eux-mêmes ils sont vides et inféconds. Que conclure en effet de cet axiome : le tout est plus grand que la partie, si aucun tout ne vous est donné? Au contraire, ce sont les définitions qui fournissent les data du raisonnement. De quel principe se tirent les propriétés du cercle, sinon de la définition du cercle? (D. Stewart, Eléments. 'pa.rl. II, chap. i, sect. I).

383. Le raisonnement s;éoniétriqne. — On a soutenu* que le raisonnement géométrique constituaitune sorte de raisonnement essentiellement différent du raisonnement syllogistique. La raison qu'on en donne, c'est qu'il n'y a pas, en géométrie, de genres et d'espèces contenus les uns dans les autres, et qui permettent de conclure des uns aux autres, ce qui est l'essence du syllogisme ; mais qu'en géométrie tout repose sur Végalité et Vinégalité, ce qui se prouve par la superposition des figures. Mais la superposition n'est qu'un procédé préparatoire qui rend sensibles les propriétés de la figure : ce n'est pas l'essence du raisonnement. De plus, ce procédé ne s'applique qu'en géométrie et n'est pas de mise dans les autres branches des mathématiques : il n'est donc pas de l'essence du raisonnement mathématique. Or, u ne peut pas y avoir de différence essentielle entre le raisonnement en géométrie et le raisonnement dans les autres branches des mathématiques. De plus, il est facile de, montrer que toutes les démonstrations géométriques peuvent se traduire en syllogismes Lorsque je démontre que l'un des côtés du triangle est pms petit que les deux autres, il est évident que jei fais ce syllogisme : la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre ; le côté â B est une ligne dioite ; donc c'est un plus court chemin; en d'autres termes, il est plus petit que la ligne l)risée A G B.

Il n'est pas vrai d'ailleursquelesnotionsde genre etd'espèce ne jouent aucun rôle en géométrie : car il est certain que, après avoir démontré de tout triangle en général que ses trois angles t-ont ég;ii!x cà deux droits, j'applique ensuite ce théorème à toutes les espèces de triangles, quels qu'ils soient : équilaléral, isocèle, scalèiie. Enfin, quoiqu'il soit vrai de dire que c'est toujours à pt;u prés le même attribut qu'il s'agit d'établir, à savoir, égal ou

i. Lacheliar d* l^nUogiam»,

plus grand, ou plus petit, toujours est-il que pour établir une liaison entre cet attribut et le sujet (cercle ou triangle), il me faut un moyen terme ; et, par conséquent, il y a syllogisme ^

384. De l'évidence mathématiqae. — On s'est demandé à quelle circonstance on devait attribuer le caractère particulier d'exactitude et de rigueur que présentent les démonstrations mathématiques. Gondillac a prétendu que ce caractère était dû à ce que tout raisonnement mathématique se ramène à l'identité des termes et repose sur ce principe que le même est le même :

Le géomètre, dit-il, avance de supposition en supposition, et retournant sa pensée sous mille formes, c'est en répétant sans cesse le même est le même qu'il opère tous ses prodiges.

Dug. Stewart combat et réfute l'opinion de Gondillac {Eléments, t. II, ch. II, sect. m). Il montre que l'erreur consiste à confondre ici ré^a/i7e divecVidentité :

Lorsqu'on avance, par exemple, que Taire d'un cercle est égale à l'aire d'un triangle qui aurait pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, n'y auraitil pas un flagrant paralogisme à inférer de là que le triangle et le cercle sont une •eule et même chose ?

Duhamel {Méthodes de raisonnement, ch. xiv, § 73) réfute également Gondillac en disant qu'il est reconnu en logique que de deux propositions fausses on peut conclure une proposition vraie (360). Il serait absurde de soutenir qu'une proposition "vraie est identique à une proposition fausse.

385. Doctrine de Dug^ald Stewart sur l'éTidence mathe* matiqne. — Selon ce philosophe, l'exactitude du raisonnement mathématique tient surtout à ce que les mathématiques sont (ondées sur des définitions, c'est-à-dire sur des hypothèses {Ibid).

Dans les autres sciences, dit-il, les propositions à établir doivent exprimer des faits, tandis que celles que les mathématiques démontrent énoncent seulement une connexion entre certaines suppositions et certaines conséquences... Elles ont pour but, non de constater des vérités concernant des existences réelles, mais de déterminer la filiation logique des conséquences qui découlent d'une hijpothése donnée. Si, partant de cette hypothèse, nous raisonnons avec exactitude, il est manifeste que rien ne pourrait manquer à l'évidence du résultat.

Il paraît étrange de dire que les mathématiques reposent sur des suppositions. Cependant, qu'est-ce qu'une définition géomé-

1. Voy dans la Logique de Ûrobiscb (Appendice), let premièret propositions d Eudide •xposni's ^ous forme sylloijistique

A60 LOGIQDE.

trique, si ce n'est une conception de notre esprit ? Dire que le triangle est un espace enfermé par trois lignes droites qui se coupent, n'est-ce pas comme si on disait : supposez que vous enfermiez un espace par trois lignes ; cette portion d'espace, je l'appelle triangle*. Dans ce cas, c'est vous qui faites l'opération et qui la faites librement. Vous ne mettez dans votre concept que ce que vous voulez y mettre, rien de moins, rien de plus. Le raisonnement appliqué à des données aussi rigou reusement déterminées doit donner les conséquences les plus rigoureuses.

Kant a soutenu une doctrine analogue :

On peut s'élever à une notion, dit-il, de deux manières, ou par synthèse, ou par analyse. Les mathématiques forment toujours leurs définitions de la premiers manière. Concevez, par exemple, quatre lignes prises à volonté et renfermant ua «ertain espace, de façon que deux des côtés opposés ne soient pas parallèles, et appelez cette figure un trapèze. La notion qui se détermine ainsi n'est pas donnée avant la définition; elle en est au contraire le produit*.

Il résume cette théorie en disant que les mathématiques reposent sur la construction des concepts, et que c'est là le secret de leur remarquable exactitude.