TT
r désignant le rayon IC. Or, dans l’hypothèse déjà indiquée. de rayons très-peu écartés de l’axe, on peut admettre que le rapport de IP à IK est sensiblement le môme que celui de p à p,. La relation précédente devient donc
d’où
JL,
Pt-r p,
rpt -I- npr = (n — I) pp„
KUltML'LE DES I.KNTILU'.S.
!tJ9
Pt PII divisant tous tPS tennps par pp,r,
Celte tbriniilp, étant indi^pendanlc de la position particulière du rayon qui a été clioisi, nous montre ([iie tous les rayons parlant du |)oint;) viennent après la rélVaclion dans le milieu indéfini terminé par une surface sphérique concourir en un même point K. Cette conclusion est tout A fait giuiérale, quel que soit le sens de la courhure et ipielle que soit la position du point radiant; il suffira seulement, pour appliquer la formule (a) dans les difiérenis cas, d'interiiréter convenablement le sit'ue des quantités qui y entrent.
Cela posé, continuons à suivre la marche du rayon considéré à travers la lenlillc. Au [loint 1’ une seconde réfraction a lieu, le rayon s’éloigne de lu normale cl vient couper l’axe principal eu 1*'. Si on suppose un point lumiueu.ven 1’ , et un rayon P T se réfractant dans un milieu indéfini tei-miné ()ar la surface sphériipie l'It, ce rayon prolongii viendrait couper l’axe en K. Ou pourrait donc appliijiier aux distances Bl*'= p' ‘et à la distance I5k la formule (a); toutefois, comme le point K est du même côté que le point lumineux, il faudra changer le signe de p^. Ajoutons ipie si on néglige l’épaisseur de la lentille, Hk a la même valeur ipie AK et est par conséquent égal à p,. En lenatit compte de ces remarques on a la relation
)■' désignant le rayoti de la seconde surface sphériiiue. Ajoutons meinhre à memhre les éiiuations (n) et (6), il vient
relation (|ui nous montre (pie tous h's rayons partis du point P viennent après la réfraction concourir en P' et ipii permet de calculer la position de l’un de ces points, (piand on connaît celle de l’autre, l’indice de réfraction n et les rayons r et r' des deux surfm’es de la lentille.
piiïs. DKsciiANci.. sy
HÉt’ItACTION.
Sui)|)osüiis (jue dans celte dernière équalion p devienne infiniment grand, c’est-à-dire que les layons arrivent parallèlement à
l’axe; dans ce cas - est égala zéro et la formule devient
Mais aloi's p' est précisément la distance focale principale; désignons-la par f, on a
Kn substituant celte valeur dans la formule, celle-ci devient
formule tout à fait semblable à celle qui a été obtenue pour les miroii's.
740. Cas où le point lumineux n'est pas sur l’axe. — Dans le cas où le point lumineux n'est pas sur l’axe, mais en est du reste peu éloigné (ce n’csl que dans celle hypotlièse que les formules sont applicables, puisqu’elles supposent que les rayons s’écartent toujours lieu de l’axe), il est aisé de faire voir que les rayons viennent après la réfraction concourir eu un même point. En elfet, menons par le point donné cl le centre de la première surface de la lentille une droite ; d’après les raisonnements qui ont .servi à idablir la formule (a), on voit qu’après la première réfraction les rajons iront concourir en un même point de la droite donnée. Joignant ce point de concoui-s, qui peut être considéré comme la nouvelle origine des rayons lumineux au second centre, on en conclut de même ipi’après la seconde réfraction les rayons concourront en un même point de cette nouvelle droite. Il est évident d’ailleurs que le point de concüui-s des rayons doit .se trouver sur le rayon sans déviation, c’esl-à-<lire sur l’axe secondaire. Il y a donc des foyers conjugués sur les axessecondaii-es, comme sur l’axe principal, et nous allons faire voir que leur position relative est déterminée par une relation iilentûpieà la relation (m). •
l'OH.Mn.H DES I.ENTII.U'.S.
Oïl
Soit en ofTct un poinl M (nfî. 678) siliici (mi iIossus de l’axe, l-ii rajon lumiiicnx Ml ira couper l'axe secondaire en nii point M
([ni est son foxer conjngn(\ Soient ni, m' l(*s distances de ces deux points à la lentille. Le rayon incident coupe l'n.xe principal en un point P, et le rayon réfracte; coupe le même axe en P'. L(*s points P et P' sont évidemment des foyers conjugués anx(|iiels s’a|t|)li([ue la relation
P et p‘ étant les distances des points P et P’ à la lenlille. La ligure MI.M peut être considérée comme un triangle, dont les trois c(>t(*s sont coupés par la transversale POP'. U a|)r(*s un théorème connu de géomélrie, les [troduits des trois segments non contigus sont égaux ; on a donc
.MP . tl" . M'O == PI . M P' . MO,
OU, d'après les approximations (jiii ont été admises.
OU
mm'p' mm' P = pp'm' + pp'm.
d’où, en divisant tous les termes |)ar pp'mm'.
H (■; Kit A CTI ON.
(le iiu‘'mo (lu second : d’où on voit (jiie la formule des foyers coiiju- }îU(-s, relalivemeul.il un a.\e secondaire (luelcomiue, est exactement la iiKime que celle ([ni se rapiiorle à un axe principal.
741. Discussion de la formule. — il est donc diiinontrd d’une manière fîém.Tale (jne louli's les foisiju'uu iminl lumineux se trouve placi' en refîiird d’une lenlillc, lec(Mie de rayons lumineux qui a ce poinl jiour sommet, et pour base rouverlure même de la lentille, se Irome Iransformê par la réfraction en un deuxième cône s'appuyant aussi stir la lentille et ayant pour sommet le foyer conjugué de ce point luiuiiieux. Ces deux foyers conjugués sont situés sur le même axe secondaire à des distances de la lentille données par la relation
Cette formule, étant tout à fait identique à c«lle des miroirs, donne lieu à une discussion pareille. Voici les principaux résulLits (|u’il est utile de remarquer.
Lors(juc le point lumineux est situé très-loin, les rayons sont à peu près parallèles et le foyer conjugué coïncide sensiblement avec le foyer principal. A mesure (pic le point lumineux s’approche,
c’est-ïi-dirc (uie v diminue, — augmente et par suite -y diminue;
le foyer conjugué s’éloigne donc de la lentille. Lorsque le point
lumineux est h une distance de la lentille égale au double de la distance focale principale, le foyer conjugué est à la même distance. Si en eiTel dans la formule^on fait p = 2f, on en déduit p’ r» 2/. Le point lumineux continuant à s’approcher, le foyer conjugue continue à s’éloigner; lorsque le point lumineux arrive au foyer principal, les rayons réfractés deviennent parallèles à l’a.xe. Si eulln le point lumineux S est placé (flg.679) entre le foyer principal et
Kig. <>Î9. — Koyer virlud.
ieKl by.G(
DISCUSSION nii LA l’OUMüLK.
Lt lentille, P étant plus petit que f, y est plus grand que y, donc p'
est négatif, ce qui veut dire (pic le foyer est virtuel.
Les rajons partis de S sont divergents après la réfraction, et leui-s prolongements se coupent en S'.
742. Formation des images. — Cette théorie permet de rendre compte des particulariti'-s que présente la formation des images.
Considérons le cas d'un objet AB (lig. 680) placé au devant d’une lentille à une distance plus grande que le double de la distance focale principale. Le foyer conjugé du point A se trouve en a, à une distance plus petite que le double de la distance focale principale. On obtient d'ailleurs tirs-aisément la position exacte. On mène par le point A un rayon parallèle à l’axe, le rayon réfracté passe nécessairement par le foyer principal F et son intersection avec l’axe secondaire AO donne précisément le point a.
On obtiendrait de même le pointé et les différents points intermédiaires entre n et b. L’œil placé au delà de ab recevra les rayons comme s’ils venaient de ab.
et verra par suite une image ab renversée et plus petite que l’objet.
Il est évident que si ab était l’objet, l’image AB se trouverait au delà de la distance focale principale renversée el plus grande que l’objet. Ce cas est représenté directement par la ligure 081. AB est l’objet placé entre le foyer principal et le double de la distance
Fi;;. 081. — Formation de» images.
Fig. OSO. — Formation des images.
ltf;KIIA('.TION.
localp prinripalp, riiiiaRp rpnversi*p Pt a^randio ab se forme au i|p|à (lu douille de la dislanre locale principale.
I,e rappoii evact enlre la ppaiulptir de l’image el colle de l'objel s’dlalilira, dans les diffdrenls cas particuliers, ft l’aide de la formnlp fondanipnlale. Kn elïet, la siinililiide des Iriangles AOB, aOb
formule dans laquelle il sufllra de mellre à la place de p sa valeur particulière pour oblcnir le rapport de la grandeur de l’objet à celle de l’image.
743. Application. — Une droite de 25 millimètres de longueur est placée perpendiculairement sur l’axe, à 35 centimètres d’une lentille de 15 centimètres de foyer; quelles sont la position et la grandeur de l’image?
La position est donnée par l’expression
La grandeur est donnée par l’expression
744. Images par projection. — On peut avec les lentilles, de même qu’avec les miroirs, obtenir la projection des images .sur un écran en plaçant celui-ci dans la position exacte des foyers conjugués de l’objet. Les remarques faites plus haut (711) sur ce genre d’images sont entièrement applicables ici.^l y a en effet dans les lentilles comme dans les miroirs une double aberration de sphéricité, provenant des deux surfaces de la lentille; la formule des foyers conjugués donne donc non pas le point où concourent tous les rayons, mais seulement le point de concours des 1x1)0118 centraux. C’est toutefois en ces points que l'éclat e.st le plus vif et, par suite, que se forment les images par projection.
FOKMATION DES IMAGES.
745. Image virtuelle. — Considérons acludlenipiil le cas d’un objet AB (fig. C.82) placé entre le foyer principal et la lentille. Les foyers conjugués des points A et B sont virtuels; on les obtient à la manière ordinaire en menant par les poinls donnés un rayon parallèle <i l’axe, rayon qui après la réfraction va pas.ser par le foyer principal F. L’intersection de ce rayon avec l'axe secondaire correspondant donne précisément le foyer conjugué. Les rayons sont donc divergents, et l’œil placé derrière la lentille verra une image droite et agrandie de l’objet. C'est le principe de la loupe, instrument qui sera décrit plus loin.
746. Lentille concave. — La formule des foyers conjugués est applicable à la lentille concave, pourvu qu’on ait le soin de chan-
ger le signe des rayons.
Le second membre -
devient ainsi négatif.
et par suite on voit que, quelle que soit la valeur dep. p’sera toujours négatif. Les foyers sont par conséquent virtuels dans tous les cas. Soit d’après cÆla un objet AB(fig. 683) placé au-devant d’une len-
tille biconcave. On obtient le foyer virtuel a par la construction ordinaire; on mène un rayon parallèle à l’axe ; le rayon réfracté passe par le foyer virtuel F et son intersection avec l'axe AO détermine le point a; h est le foyer conjugué de B; l’œil placé derrière la lentille recevra les rayons comme s’ils venaient des dilTérents points de ab et verra par conséquent une image ab droite et plus petite que l’objet.
