V. p=f, c'est-à-dire que le point est au foyer principal

La formule donne p' = ô = æ, c'est-à-dire que l'image est rejetée à l'infin:.

En effet, les rayons réfléchis sont alors parallèles à l'axe.

VI p <f, c'est-à-dire que le point lumineux est entre le foyer principal et le miroir.

Le dénominateur de la formule [2] étant alors négatif, il en est de même de p', ce qui indique que la formule ne convient pas à ce cas. Cela n'est pas étonnant, puisqu'on l'avait établie en supposant qu'il existait une image réelle. Or, si l’on recommençait le inême calcul en faisant la supposition inverse, c'estàdire en admettant l'existence d'une image virtuelle, on trouverait l'équation aux foyers conjugués sous la forme suivante,

; 4: de -=4 tv Ste [bis] Pr ra d'où l'on tirerait la formule . -

ae [—?

Celle-et, pour toutes les valeurs de p inférieures à f, donnerait pour p’ des valeurs positives et parfaitement admissibles. Cela prouve que pour toutes les positions du point lumineux comprises entre le foyer principal et le sommet on a une image virtuelle, dont la distance au miroir est donnée par la formule [2 bis].

Las — Pour représenter les divers cas qui peuvent se présenter dans la réflexion sur un miroir concave, il faut donc émployer les deux équations \\ el fi dé). Toutefois on peut n'en prendre qu'une, en admettant \es conventions

algébriques relatives à l'interprétation des quantités négatives. Si l'on convient d'avance que les valeurs négatives de p' correspondront aux images virtuelles, l'équation qi += ph ÿ comprendra tous les cas.

570. Formules des miroirs convexes de petite ouverture. — 1° Éguation aux foyers conjugués. — Il est facile de la trouver directement, par la même mé-

thode que pour les miroirs concaves, En se plagant dans le cas d'une image virtuelle, on arrive à l'équation

CV RE TS "UE, LI À ou, en changeant les signes des deux rnembres, 1 1 1 1 = tee ft] FT"

Ruwanqux. — On pourrait la déduire de l'équation fondamentale [1] en changeant de signe toutes les grandeurs géométriques qui ont changé de sens par rapport au cas initial d'un miroir concave donnant une image réelle d'un point lumineux réel.

Discussion, — De celte équation on déduit

Pret du. |

12] der ET |

En discutant la formule comme précédemment, on verrait qu'elle donne toujours une valeur admissible, quel que soit p : ce qui prouve qu'elle s'applique à tous les cas, et que l'image d'un point lumineux réel est toujours virtuelle dans un miroir convere.

571. Formule de Newton. — On doit à Newton une forme de l'équation aux foyers conjugués, qui s'applique aussi bien au cas des miroirs convexes qu'à celui des miroirs concaves. 11 suffil de prendre le foyer principal F pour origine des distances, et de poser

LF=n ©t (F—= 0" {fûig. 347).

On a alors pP=s+f et p'=n +f.

En portant ces valeurs dans l'équation [1], il vient, toutes réductions faites, ws'=/1,

572. Cas dos objets lumineux. — 1* Distance de l'image au miroir, — Les équations aux foyers conjugués expriment aussi la relation qui existe entre les distances de l'objet et de son image au sommet du miroir,

2 Grandeur de l'image. — À l'aide des mêmes formules, on peut facilement culouler la grandeur d'une image quand on connaît la distance de l'objet, sa grandeur et le rayon du miroir. En effet, si l'on représente l'objet par BD (fig. 302), son image par bd, et si l'on suppose connus la distance KA = p et le rayon AC = 2, on calcule Ao = p' au moyen de l'une des deux formules ci-des: sus, Or, les deux triangles BCD et dGb étant semblables, on à entre leurs bases et leurs hauteurs la proportion

& re

bd

li [R

lé R—p v' m p—h v

HIROIRS COURBES. 421

donc bd [ = Be À D p p-7

573. Cas des miroirs de grande ouverture. — Rayons marginaux; aberration de sphérioité ; caustiques par réflexion, — Lorsque l'ouverture du miroir dépasse 8 à 9 degrés, les rayons réfléchis près des Fig. 562, bords vont renconrer l'axe en un lover G, plus voisin du miroir que le foyer F des rayons centraux (fig. 565). l'ur suite, à un point lumineux unique correspondent en réalité une série de foyers conjugués, disposés en ligne droite, sur l'axe secondaire du point, le foyer des rayons périphériques étant toujours le plus voisin du sommet. La distance entre les foyers extrêmes s'appelle aberration longitudinale de sphéricité,

Lorsqu'il s'agit d'un point luinineux silué sur l'axe principal, et à l'infini (fig, 363), l'aberration correspondante s'appelle aberration principale : c'est la distance FG. Et si l'on place un écran dans Fig. 365.

le plan focal, on aura, au lieu d'un point lumineux unique, un cercle lumineux de rayon FH, De là résulte duns les fmmages un défaut de netteté plus où moins grand, qui a fait rejeter l'emploi des miroirs concaves sphériques de grande ouverture et leur a fuit sub situer, dans la construclion des instruments d'optique, les miroirs concaves paraboliques (fig. 565).

Les rayons réfléchis se coupant successivement deux à deux (fig. 364), leurs points d'intersection forinent dans l’espace une surface brillante qu'on nomme caustique par réflexion. La Fig. 364.

courbe FM représente une des branches de lu section principale de cette surface, qui est de révolution autour de l'axe principal.

574. Miroirs paraboliques, — Les miroirs paraboliques sout des miroirs concaves dont la surface est engendrée par la révolution d'un arc de parabole AM autour de son axe AX (fig. 365).

Or, c'est une propriété connue de la parabole qu'en un point quelconque M de cette courbe le rayon vecteur FM et la droite ML, parallèle à l'axe, font avec Lu langente TT’ des angles égaux. Par suite, les angles avec \a normale seronk aussi égaux : donc, dans ces sortes de miroirs, tout rayon parallèle à Vase, Le

que LM, sera réfléchi suivant MF et ira rigoureusement passer au foyer géométrique F du miroir, Réciproguement, une source de lumière étant placée en ce foyer, les rayons lumineux qui Lombent sur le miroir se réfléchissent en un faisceau rigoureusement parallèle à l'axe. Les miroirs qui possèdent cette propriété sont appelés aplanétiques.

375. Construction et emploi des miroirs aplanétiques, — Dans ces conditions, la lumière ainsi réfléchie conserve la même intensité jusqu'à une grande distance de la source; car c'est surtout la divergence des rayons qui en affaiblit l'intensité, C'est pourquoi les miroirs paraboliques, bien que plus difficiles à construire et plus coûteux que les miroirs sphériques, leur sont-ils préférés comme objectifs de télescopes. On construit actuellement, pour cet usage, des miroirs en verre, argenté par le procédé Martin, qui sont à la fois moins lourds que les anciens miroirs en bronze, moins coûteux, plus faciles à réparer et susceptibles d'un poli plus par-

Fig. 365, fait. On les fait d'abord sphéri-

ques; on les rend ensuite aplané-

liques en travaillant les différentes régions par la méthode dite des retomches

locales, due à Foucault : an sait à chaque instant de combien l'on s'écarte de

la forme parabolique et dans quel sens, ce qui supprime les tâtonnements el les lenteurs de l'ancienne méthode.

2 On emploie encore les miroirs paraboliques comme réflecteurs pour les lampes qu'on place sur les voitures publiques, ainsi que sur les trains de chemins de fer. Ces sortes-de réflecteurs ont aussi longtemps servi pour les phares, mais on emploie de préférence aujourd'hui les systèmes réfringents (lentilles de Fresnel),